Zadacha Kuznecov Integraly 18-2

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

${\begin{cases}x=3\left(2\cos {t}-\cos {2t}\right)\\y=3\left(2\sin {t}-\sin {2t}\right)\end{cases}}$

$0\leq t\leq 2\pi$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\;dt$

Найдем производные по $~t$ для заданной кривой:

$x=3(2\cos {t}-\cos {2t});\ x'(t)=3(-2\sin {t}+2\sin {2t})=6(\sin {2t}-\sin {t})$

$y=3(2\sin {t}-\sin {2t});\ y'(t)=3(2\cos {t}-2\cos {2t})=6(\cos {t}-\cos {2t})$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

${\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {(6(\sin {2t}-\sin {t}))^{2}+(6(\cos {t}-\cos {2t}))^{2}}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {\sin ^{2}{2t}-2\sin {2t}\sin {t}+\sin ^{2}{t}+\cos ^{2}{t}-2\cos {2t}\cos {t}+\cos ^{2}{2t}}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {1-2\sin {2t}\sin {t}+1-2\cos {2t}\cos {t}}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {2}}{\sqrt {1-\sin {2t}\sin {t}-\cos {2t}\cos {t}}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {2}}{\sqrt {1-\sin {t}\cos {t}\sin {t}-(1-\sin ^{2}{t})\cos {t}}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}{t}\cos {t}-\cos {t}+\sin ^{2}{t}\cos {t}}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {2}}{\sqrt {1-\cos {t}}}\;dt=\int \limits _{0}^{2\pi }6{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}\sin {\frac {t}{2}}\;dt=\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }12\sin {\frac {t}{2}}\;dt=\int \limits _{0}^{2\pi }12\cdot 2\sin {\frac {t}{2}}\;d\left({\frac {t}{2}}\right)=24\left(-\cos {\frac {t}{2}}\right){\biggr |}_{0}^{2\pi }=-24\left(\cos {\pi }-\cos {0}\right)=-24\left(-1-1\right)=48\end{aligned}}$