Zadacha Kuznecov Integraly 18-17

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

${\begin{cases}x=8\cos ^{3}{t}\\y=8\sin ^{3}{t}\end{cases}}$

$0\leq t\leq {\frac {\pi }{6}}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x_{t}')^{2}+(y_{t}')^{2}}}\;dt$

Из уравнений кривой находим:

$x=8\cos ^{3}{t};\ x_{t}'=8\cdot 3\cos ^{2}{t}(\cos {t})'=-24\;\cos ^{2}{t}\;\sin {t}$

$y=8\sin ^{3}{t};\ y_{t}'=8\cdot 3\sin ^{2}{t}(\sin {t})'=24\;\sin ^{2}{t}\;\cos {t}$

Получаем:

${\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{\pi /6}{\sqrt {\left(-24\;\cos ^{2}{t}\;\sin {t}\right)^{2}+\left(24\;\sin ^{2}{t}\;\cos {t}\right)^{2}}}\;dt=\\&=24\int \limits _{0}^{\pi /6}{\sqrt {\cos ^{4}{t}\;\sin ^{2}{t}+\sin ^{4}{t}\;\cos ^{2}{t}}}\;dt=\\&=24\int \limits _{0}^{\pi /6}{\sqrt {\cos ^{2}{t}\;\sin ^{2}{t}}}\;\cdot \;{\sqrt {\sin ^{2}{t}+\cos ^{2}{t}}}\;dt=\\&=24\int \limits _{0}^{\pi /6}{\sqrt {\cos ^{2}{t}\;\sin ^{2}{t}}}\;\cdot \;{\sqrt {1}}\;dt={\begin{vmatrix}0\leq t\leq \pi /6;\\\sin(t)\geq 0;\\\cos(t)\geq 0\end{vmatrix}}=\\&=24\int \limits _{0}^{\pi /6}{\cos {t}\;\sin {t}}\;dt={\frac {24}{4}}\int \limits _{0}^{\pi /6}{\sin(2t)}\;d(2t)=\\&=-6\cdot \cos(2t){\biggr |}_{0}^{\pi /6}=-6\cdot \left(\cos {\frac {\pi }{3}}-\cos 0\right)=-6\cdot \left({\frac {1}{2}}-1\right)=3\end{aligned}}$