Zadacha Kuznecov Integraly 17-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\operatorname{ch}{x}+3,\; 0\le x\le 1}

Решение[править]

Длина дуги кривой, заданной уравнением Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~y=f(x); \; a \le x \le b} , определяется формулой

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx }

Найдем производную данной функции:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x)=\left( \mathrm{ch}\,{x} + 3 \right)'=\mathrm{sh}\,{x}}

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} L & = \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+\left( \mathrm{sh}\,{x} \right)^2 }\;dx = \\ & = \int\limits_{0}^{1}\mathrm{ch}\,{x}\;dx = \mathrm{sh}\,{x}\biggr|_{0}^{1} = \mathrm{sh}\,{1} - \mathrm{sh}\,{0} = \mathrm{sh}\,{1} \end{align}}