Zadacha Kuznecov Integraly 17-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

<math>y=\operatorname{ch}{x}+3,\; 0\le x\le 1</math>

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением <math>~y=f(x); \; a \le x \le b</math>, определяется формулой

<math> L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx </math>

Найдем производную данной функции:

<math>f'(x)=\left( \mathrm{ch}\,{x} + 3 \right)'=\mathrm{sh}\,{x}</math>

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

<math>\begin{align}

L & = \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+\left( \mathrm{sh}\,{x} \right)^2 }\;dx = \\ & =

     \int\limits_{0}^{1}\mathrm{ch}\,{x}\;dx = 
     \mathrm{sh}\,{x}\biggr|_{0}^{1} = 
     \mathrm{sh}\,{1} - \mathrm{sh}\,{0} = \mathrm{sh}\,{1}

\end{align}</math>