Zadacha Kuznecov Integraly 17-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

y=\operatorname{ch}{x}+3,\; 0\le x\le 1

Решение[править]

Длина дуги кривой, заданной уравнением ~y=f(x); \; a \le x \le b, определяется формулой

 L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx

Найдем производную данной функции:

f'(x)=\left( \mathrm{ch}\,{x} + 3 \right)'=\mathrm{sh}\,{x}

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

\begin{align}
L & = \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+\left( \mathrm{sh}\,{x} \right)^2 }\;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{1}\mathrm{ch}\,{x}\;dx = 
      \mathrm{sh}\,{x}\biggr|_{0}^{1} = 
      \mathrm{sh}\,{1} - \mathrm{sh}\,{0} = \mathrm{sh}\,{1}
\end{align}