Zadacha Kuznecov Integraly 17-12

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

y=1-\ln{\cos{x}},\; 0\le x\le \frac{\pi}{6}

Решение[править]

Длина дуги кривой, заданной уравнением ~y=f(x); \; a \le x \le b, определяется формулой

 L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx

Найдем производную данной функции:

f'(x)=(1 - \ln \cos x)' = 0 -\frac{1}{\cos x} \cdot (\cos{x})' = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\mathrm{tg}\,{x}

Тогда:

(f'(x))^2=\mathrm{tg}^2\,{x}


Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

\begin{align}
L & = \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{1+\mathrm{tg}^2\,{x} }\;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ 1+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} }\;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} }\;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}} }\;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ \frac{1}{\cos^2{x}} }\;dx = 
\begin{vmatrix} 0 \le x \le \pi/6; \\ \cos(x) \ge 0 \end{vmatrix} = 
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\cos{x}} \;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\sin{\left( \frac{\pi}{2} + x \right)}} \;dx = \\ & =
      \int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{2 \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) 
                                        \cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \;dx = \\ & =
\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{\cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)}{
                                        \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) 
                                      \cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \;dx = \\ & =
\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{\cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)}{
                                        \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot
                                  \frac{dx}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } = \\ & =
\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot
                                  \frac{dx}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) }
\end{align}

Заметим, что ~\frac{dx}{\cos^2\alpha}=d(\mathrm{tg}\alpha) :

\begin{align}
L & = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot
                                  \frac{dx}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } = \\ & =
2\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot
                                  d\left( \mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right) = \\ & =
 \ln \left( \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right) \Biggr|_{0}^{\pi/6} = \\ & =
 \ln \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \right) - \ln \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} + 0 \right) = \\ & =
 \ln \mathrm{tg} \frac{\pi}{3} - \ln \mathrm{tg} \frac{\pi}{4} = \ln \sqrt{3} - \ln 1 = \ln \sqrt{3}
\end{align}