Zadacha Kuznecov Integraly 17-12

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

<math>y=1-\ln{\cos{x}},\; 0\le x\le \frac{\pi}{6}</math>

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением <math>~y=f(x); \; a \le x \le b</math>, определяется формулой

<math> L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx </math>

Найдем производную данной функции:

<math>f'(x)=(1 - \ln \cos x)' = 0 -\frac{1}{\cos x} \cdot (\cos{x})' = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\mathrm{tg}\,{x}</math>

Тогда:

<math>(f'(x))^2=\mathrm{tg}^2\,{x}</math>


Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

<math>\begin{align}

L & = \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{1+\mathrm{tg}^2\,{x} }\;dx = \\ & =

     \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ 1+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} }\;dx = \\ & =
     \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} }\;dx = \\ & =
     \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}} }\;dx = \\ & =
     \int\limits_{0}^{\pi/6}\sqrt{ \frac{1}{\cos^2{x}} }\;dx = 

\begin{vmatrix} 0 \le x \le \pi/6; \\ \cos(x) \ge 0 \end{vmatrix} =

     \int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\cos{x}} \;dx = \\ & =
     \int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\sin{\left( \frac{\pi}{2} + x \right)}} \;dx = \\ & =
     \int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{2 \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) 
                                       \cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \;dx = \\ & =

\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{\cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)}{

                                       \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) 
                                     \cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \;dx = \\ & =

\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{\cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)}{

                                       \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot
                                 \frac{dx}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } = \\ & =

\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot

                                 \frac{dx}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) }

\end{align}</math>

Заметим, что <math>~\frac{dx}{\cos^2\alpha}=d(\mathrm{tg}\alpha) : </math>

<math>\begin{align}

L & = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot

                                 \frac{dx}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } = \\ & =

2\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) } \cdot

                                 d\left( \mathrm{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right) = \\ & =
\ln \left( \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right) \Biggr|_{0}^{\pi/6} = \\ & =
\ln \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \right) - \ln \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} + 0 \right) = \\ & =
\ln \mathrm{tg} \frac{\pi}{3} - \ln \mathrm{tg} \frac{\pi}{4} = \ln \sqrt{3} - \ln 1 = \ln \sqrt{3}

\end{align}</math>