Zadacha Kuznecov Integraly 16-9

Условие задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

$r=\cos {\phi },\;r={\sqrt {2}}\sin {\left(\phi -{\frac {\pi }{4}}\right)},\;\left(-{\frac {\pi }{4}}\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}\right)$

Решение

Построим графики заданных функций:

Найдем точки пересечения:

$\cos {\varphi }={\sqrt {2}}\cos \left(\varphi -{\frac {\pi }{4}}\right)$

$\cos {\varphi }=\cos \varphi +\sin \varphi$

$\sin {\varphi }=0$

$\varphi =0$

Из рисунка видно, что искомая площадь:

$S={\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{-\pi /4}^{0}r_{1}^{2}(\varphi )\;d\varphi +{\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{0}^{\pi /2}r_{2}^{2}(\varphi )\;d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{-\pi /4}^{0}2\cos ^{2}\left(\varphi -{\frac {\pi }{4}}\right)\;d\varphi +{\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}\varphi \;d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{-\pi /4}^{0}\left(1+\cos \left(2\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)\;d\varphi +{\frac {1}{4}}\cdot \int \limits _{0}^{\pi /2}(1+\cos 2\varphi )\;d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\cdot \left(\varphi +{\frac {\sin \left(2\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)}{2}}\right){\Biggr |}_{-\pi /4}^{0}+{\frac {1}{4}}\cdot \left(\varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2}}\right){\Biggr |}_{0}^{\pi /2}=$

$=0+{\frac {1}{4}}\cdot \sin \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{4}}\cdot \sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2}}\right)+{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{8}}\cdot \sin \pi -0-{\frac {1}{8}}\cdot \sin 0=$

$=-{\frac {1}{4}}+{\frac {\pi }{8}}-0+{\frac {\pi }{8}}+0-0={\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}$