Zadacha Kuznecov Integraly 16-28

Условие задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

$r=\cos {\phi }-\sin {\phi }$

Решение

$r=\cos \varphi -\sin \varphi ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)$

Так как $r\geq 0,$ то получим $\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\geq 0,$ откуда

$-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi k\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{4}}+2\pi k;\;k\in Z$

Тогда искомая площадь равна:

$S=\int \limits _{-3\pi /4}^{\pi /4}{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )\;d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\int \limits _{-3\pi /4}^{\pi /4}\left(\cos \varphi -\sin \varphi \right)^{2}d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\int \limits _{-3\pi /4}^{\pi /4}\left(\cos ^{2}\varphi -2\cos \varphi \sin \varphi +\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\int \limits _{-3\pi /4}^{\pi /4}\left(1-2\cos \varphi \sin \varphi \right)d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\int \limits _{-3\pi /4}^{\pi /4}\left(1-\sin 2\varphi \right)d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\left(\varphi +{\frac {\cos 2\varphi }{2}}\right){\Biggr |}_{-3\pi /4}^{\pi /4}=$

$={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\cos 2{\frac {\pi }{4}}}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {3\pi }{4}}+{\frac {\cos 2\cdot \left(-{\frac {3\pi }{4}}\right)}{2}}\right)=$

$={\frac {\pi }{8}}+{\frac {\cos {\frac {\pi }{2}}}{4}}+{\frac {3\pi }{8}}-{\frac {\cos \left(\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}{4}}=$

$={\frac {\pi }{8}}-0+{\frac {3\pi }{8}}+0={\frac {\pi }{2}}$