Zadacha Kuznecov Integraly 16-19

Условие задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

$r=1+{\sqrt {2}}\sin {\phi }$

Решение

Поскольку фигура симметрична, то считаем площадь в I и IV четвертях (т.е. для $\left[-{\frac {\pi }{2}};\;{\frac {\pi }{2}}\right]$) и умножим на 2:

$S=2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\left(1+{\sqrt {2}}\sin {\phi }\right)^{2}d\phi =\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\left(1+{\sqrt {2}}\sin {\phi }\right)^{2}d\phi =$

$=\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\left(1+2{\sqrt {2}}\sin {\phi }+2\sin ^{2}{\phi }\right)d\phi =\left|\sin ^{2}{\phi }={\frac {1}{2}}(1-\cos {2\phi })\right|=$

$=\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\left(1+2{\sqrt {2}}\sin {\phi }+(1-\cos {2\phi })\right)d\phi =$

$=\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\left(2+2{\sqrt {2}}\sin {\phi }-\cos {2\phi }\right)d\phi =\left.\left(2t-2{\sqrt {2}}\cos {\phi }-{\frac {1}{2}}\sin {2\phi }\right)\right|_{-\pi /2}^{\pi /2}=$

$=\left(2\cdot {\frac {\pi }{2}}-2{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin {\pi }\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)-2{\sqrt {2}}\cos {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}-{\frac {1}{2}}\sin {(-\pi )}\right)=$

$=\pi -0-{\frac {1}{2}}\cdot (-1)+\pi +0+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=2\pi$