Zadacha Kuznecov Integraly 16-13

Условие задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

$r=\cos {\phi },\;r=\sin {\phi },\;\left(0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}\right)$

Решение

Построим графики заданных функций:

Так как фигура симметрична, найдем площадь половины, т.е. верхний предел у нас будет не $~{\frac {\pi }{2}}$ a $~{\frac {\pi }{4}}$ и мы можем рассмативать только одну функцию $r=\sin \varphi$ Тогда получаем:

$S=2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{0}^{\pi /4}\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {1-\cos 2\varphi }{2}}\;d\varphi =$

$={\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{0}^{\pi /4}(1-\cos 2\varphi )\;d\varphi ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\varphi -{\frac {1}{2}}\cdot \sin 2\varphi \right){\Biggr |}_{0}^{\pi /4}=$

$={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}-0+{\frac {1}{2}}\sin 0\right)={\frac {\pi }{8}}-{\frac {1}{4}}$