Zadacha Kuznecov Integraly 15-8

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

${\begin{cases}x=6\cos {t},\\y=2\sin {t},\end{cases}}$

$y={\sqrt {3}}\;\left(y\geq {\sqrt {3}}\right)$

Решение

Найдем точки пересечения:

$y=2\sin {t}={\sqrt {3}}$

$\sin {t}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$t=(-1)^{k}\cdot {\frac {\pi }{3}}+\pi k,\;k\in \mathbb {Z}$

Из рисунка видно, что область симметрична относительно оси $~0y,$ и её площадь можно посчитать по формуле:

$S=2\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}x(t)\cdot y'(t)\;dt=$

$=2\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}6\cos {t}\cdot \left(2\sin {t}\right)'dt=24\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}\cos {t}\cdot \cos {t}\;dt=$

$=24\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}\cos ^{2}{t}\;dt=24\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}(1+\cos {2t})dt=$

$=12\cdot \left(t+{\frac {1}{2}}\sin {2t}\right){\Biggr |}_{\pi /3}^{\pi /2}=12\cdot \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {2\pi }{2}}\right)-12\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)=$

$=6\pi +6\sin \pi -4\pi -6\sin {\frac {2\pi }{3}}=2\pi +0-6\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=2\pi -3{\sqrt {3}}$