Zadacha Kuznecov Integraly 15-26

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

${\begin{cases}x=3\cos {t},\\y=8\sin {t},\end{cases}}$

$y=4{\sqrt {3}}\;\left(y\geq 4{\sqrt {3}}\right)$

Решение

Найдем точки пересечения:

$y=8\sin {t}=4{\sqrt {3}}$

$\sin {t}={\frac {4{\sqrt {3}}}{8}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$t=(-1)^{k}\cdot {\frac {\pi }{3}}+\pi k,\;k\in \mathbb {Z}$

Так как функции $3\cos {t},\;8\sin {t}$ периодичны (с периодом $2\pi$), то берем любой отрезок длиной $2\pi .$ Возьмем $[0;\;2\pi ]$. Тогда:

$t={\frac {\pi }{3}}$ или $t={\frac {2\pi }{3}}$

Из рисунка видно, что область симметрична относительно $~0y$, т.е.

$S=2\cdot S_{0}\left[{\frac {\pi }{3}};\;{\frac {\pi }{2}}\right]$

Площадь фигуры найдем по формуле:

$S=2\int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}x(t)\cdot y'(t)\;dt=2\int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}3\cos {t}\cdot \left(8\sin {t}\right)'dt=48\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}\cos {t}\cdot \cos {t}\;dt=$

$=48\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}\cos ^{2}{t}\;dt=48\cdot \int \limits _{\pi /3}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}(1+\cos {2t})dt=24\cdot \left(t+{\frac {1}{2}}\sin {2t}\right){\Biggr |}_{\pi /3}^{\pi /2}=$

$=24\cdot \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {2\pi }{2}}\right)-24\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)=$

$=12\pi +12\sin \pi -8\pi -12\sin {\frac {2\pi }{3}}=4\pi +12\cdot 0-12\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=4\pi -6{\sqrt {3}}$