Zadacha Kuznecov Integraly 15-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

<math>\begin{cases} x=9\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}</math>
<math>y=2\; \left(y\ge 2\right)</math>

Решение

Int 15-23.gif

Найдем точки пересечения:

<math>y=4\sin{t} = 2</math>
<math>\sin{t} = \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>
<math>t = (-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k, \; k \in \mathbb{Z}</math>

Так как функции <math>9\cos{t},\; 4\sin{t}</math> периодичны (с периодом <math>2\pi</math>), то берем любой отрезок длиной <math>2\pi.</math> Возьмем <math>[0;\; 2\pi]</math>. Тогда:

<math>t = \frac{\pi}{6}</math> или <math>t = \frac{5\pi}{6}</math>
При <math> t = \frac{5\pi}{6};\;x = 9\cos\frac{5\pi}{6} = 9 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{9\sqrt{3}}{2}</math>
При <math> t = \frac{ \pi}{6};\;x = 9\cos\frac{ \pi}{6} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} </math>
<math>y \ge 2</math> на отрезке <math>\left[\frac{5\pi}{6};\; \frac{\pi}{6}\right]</math>.

Площадь фигуры найдем по формуле: <math>S = S_0 - S_1</math> Где:

<math>S_0 = \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} y(t) \cdot x'(t) \; dt = </math>
<math> = \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} 4\sin{t}\cdot \left(9\cos{t}\right)' dt
          = 36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \sin{t} \cdot (-\sin{t})\; dt = </math>
<math> =-36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \sin^{2}{t}\; dt
          =-36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \frac{1}{2}(1-\cos{2t})dt = </math>
<math> =-18\cdot \left(t - \frac{1}{2}\sin{2t}\right)\Biggr|_{5\pi/6}^{\pi/6} = </math>
<math> = -18\cdot \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{6}}\right)
         +18\cdot \left(\frac{5\pi}{6}- \frac{1}{2}\sin{\frac{2\cdot 5\pi}{6}}\right) = </math>
<math> =-3\pi + 9\sin\frac{2\pi}{6} + 15\pi - 9\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{3}\right)
        =12\pi + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 9 \cdot \left(-\sin\frac{2\pi}{3}\right) 
        =12\pi + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\pi + 9 \sqrt{3}</math>
Теперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямыми <math>y=0; y=2\sqrt{3};
       x=-\frac{9\sqrt{3}}{2}; x=\frac{9\sqrt{3}}{2}; </math>
<math>S_1 = (y_2-y_1)\cdot(x_2-x_1) = (2-0) \cdot (\frac{9\sqrt{3}}{2}-(-\frac{9\sqrt{3}}{2}))
          = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18 \sqrt{3}</math>


И в результате получим: <math>~S = S_0 - S_1 = 12\pi + 9 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} = 12\pi - 9 \sqrt{3}</math>