Zadacha Kuznecov Integraly 15-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x=9\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=2\; \left(y\ge 2\right)}

Решение[править]

Int 15-23.gif

Найдем точки пересечения:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=4\sin{t} = 2}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin{t} = \frac{2}{4}= \frac{1}{2}}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = (-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k, \; k \in \mathbb{Z}}

Так как функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 9\cos{t},\; 4\sin{t}} периодичны (с периодом Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi} ), то берем любой отрезок длиной Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi.} Возьмем Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [0;\; 2\pi]} . Тогда:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{\pi}{6}} или Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{5\pi}{6}}
При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{5\pi}{6};\;x = 9\cos\frac{5\pi}{6} = 9 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{9\sqrt{3}}{2}}
При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{ \pi}{6};\;x = 9\cos\frac{ \pi}{6} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y \ge 2} на отрезке Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\frac{5\pi}{6};\; \frac{\pi}{6}\right]} .

Площадь фигуры найдем по формуле: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = S_0 - S_1} Где:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_0 = \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} y(t) \cdot x'(t) \; dt = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} 4\sin{t}\cdot \left(9\cos{t}\right)' dt = 36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \sin{t} \cdot (-\sin{t})\; dt = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =-36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \sin^{2}{t}\; dt =-36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \frac{1}{2}(1-\cos{2t})dt = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =-18\cdot \left(t - \frac{1}{2}\sin{2t}\right)\Biggr|_{5\pi/6}^{\pi/6} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = -18\cdot \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{6}}\right) +18\cdot \left(\frac{5\pi}{6}- \frac{1}{2}\sin{\frac{2\cdot 5\pi}{6}}\right) = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =-3\pi + 9\sin\frac{2\pi}{6} + 15\pi - 9\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =12\pi + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 9 \cdot \left(-\sin\frac{2\pi}{3}\right) =12\pi + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\pi + 9 \sqrt{3}}
Теперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямыми Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=0; y=2\sqrt{3}; x=-\frac{9\sqrt{3}}{2}; x=\frac{9\sqrt{3}}{2}; }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1 = (y_2-y_1)\cdot(x_2-x_1) = (2-0) \cdot (\frac{9\sqrt{3}}{2}-(-\frac{9\sqrt{3}}{2})) = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18 \sqrt{3}}


И в результате получим: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~S = S_0 - S_1 = 12\pi + 9 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} = 12\pi - 9 \sqrt{3}}