Zadacha Kuznecov Integraly 15-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

\begin{cases} x=9\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}
y=2\; \left(y\ge 2\right)

Решение[править]

Int 15-23.gif

Найдем точки пересечения:

y=4\sin{t} = 2
\sin{t} = \frac{2}{4}= \frac{1}{2}
t = (-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k, \; k \in \mathbb{Z}

Так как функции 9\cos{t},\; 4\sin{t} периодичны (с периодом 2\pi), то берем любой отрезок длиной 2\pi. Возьмем [0;\; 2\pi]. Тогда:

t = \frac{\pi}{6} или t = \frac{5\pi}{6}
При  t = \frac{5\pi}{6};\;x = 9\cos\frac{5\pi}{6} = 9 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{9\sqrt{3}}{2}
При  t = \frac{ \pi}{6};\;x = 9\cos\frac{ \pi}{6} = 9 \cdot  \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}
y \ge 2 на отрезке \left[\frac{5\pi}{6};\; \frac{\pi}{6}\right].

Площадь фигуры найдем по формуле: S = S_0 - S_1 Где:

S_0 =         \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} y(t) \cdot x'(t) \; dt =
    =         \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} 4\sin{t}\cdot \left(9\cos{t}\right)' dt 
           = 36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \sin{t} \cdot (-\sin{t})\; dt =
    =-36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \sin^{2}{t}\; dt 
           =-36\cdot \int\limits_{5\pi/6}^{\pi/6} \frac{1}{2}(1-\cos{2t})dt =
    =-18\cdot \left(t - \frac{1}{2}\sin{2t}\right)\Biggr|_{5\pi/6}^{\pi/6} =
 = -18\cdot \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{6}}\right)  
          +18\cdot \left(\frac{5\pi}{6}- \frac{1}{2}\sin{\frac{2\cdot 5\pi}{6}}\right) =
  =-3\pi + 9\sin\frac{2\pi}{6} + 15\pi - 9\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{3}\right) 
         =12\pi + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 9 \cdot \left(-\sin\frac{2\pi}{3}\right) 
         =12\pi + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\pi + 9 \sqrt{3}
Теперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямыми y=0; y=2\sqrt{3}; 
        x=-\frac{9\sqrt{3}}{2}; x=\frac{9\sqrt{3}}{2};
S_1 = (y_2-y_1)\cdot(x_2-x_1) = (2-0) \cdot (\frac{9\sqrt{3}}{2}-(-\frac{9\sqrt{3}}{2})) 
           = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18 \sqrt{3}


И в результате получим: ~S = S_0 - S_1 = 12\pi + 9 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} = 12\pi - 9 \sqrt{3}