Zadacha Kuznecov Integraly 15-16

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

${\begin{cases}x=8\cos ^{3}{t},\\y=4\sin ^{3}{t},\end{cases}}$

$x=3{\sqrt {3}}\;\left(x\geq 3{\sqrt {3}}\right)$

Решение

Найдем точки пересечения:

$x=8\cos ^{3}{t}=3{\sqrt {3}};\;\Rightarrow$

$\cos ^{3}{t}={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}$

$\cos {t}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$t=\pm {\frac {\pi }{6}}+2\pi k,\;k\in \mathbb {Z}$

Так как функции $x=8\cos ^{3}{t},\;y=4\sin ^{3}{t}$ периодичны (с периодом $2\pi$), то берем любой отрезок длиной $2\pi$. Возьмем $[-\pi ;\;\pi ]$. Тогда:

$t=-{\frac {\pi }{6}}$ или $t={\frac {\pi }{6}}$

$x\geq 3{\sqrt {3}}$ на отрезке $\left[-{\frac {\pi }{6}};\;{\frac {\pi }{6}}\right].$

Из рисунка видно, что область симметрична относительно оси $~0x,$ и ее площадь можно посчитать по формуле:

$S=-2\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}y(t)\cdot x'(t)\;dt=$

$=-2\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}4\sin ^{3}{t}\cdot \left(8\cos ^{3}{t}\right)'dt=$

$=-2\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}4\sin ^{3}{t}\cdot 24\cos ^{2}{t}\cdot (-\sin {t})\;dt=$

$=192\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}\sin ^{4}{t}\cdot \cos ^{2}{t}\;dt={\begin{vmatrix}\sin {t}\cos {t}={\frac {1}{2}}\sin {2t},\;\\\sin ^{2}{t}={\frac {1}{2}}(1-\cos {2t})\end{vmatrix}}=$

$=192\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}{\frac {1}{2}}(1-\cos {2t})\cdot \left({\frac {1}{2}}\sin {2t}\right)^{2}dt=24\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}(1-\cos {2t})\sin ^{2}{2t}\;dt=$

$=24\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}\sin ^{2}{2t}\;dt-24\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}\cos {2t}\cdot \sin ^{2}{2t}\;dt=$

$=24\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}{\frac {1}{2}}(1-\cos {4t})\;dt-24\cdot \int \limits _{0}^{\pi /6}{\frac {1}{2}}\cdot \sin ^{2}{2t}\;d\left(\sin {2t}\right)=$

$=12\cdot \left(t-{\frac {1}{4}}\sin {4t}\right){\Biggr |}_{0}^{\pi /6}-12\cdot \left({\frac {1}{3}}\sin ^{3}{2t}\right){\Biggr |}_{0}^{\pi /6}=$

$=12\cdot \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{4}}\sin {\frac {4\pi }{6}}\right)-12\cdot \left(0-{\frac {1}{4}}\sin {0}\right)-4\left(\sin ^{3}{\frac {2\pi }{6}}-\sin ^{3}{0}\right)=$

$=2\pi -3\sin {\frac {2\pi }{3}}-0-4\sin ^{3}{\frac {\pi }{3}}+0=$

$=2\pi -3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-4\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}=2\pi -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \left(3+4{\frac {3}{4}}\right)=2\pi -3{\sqrt {3}}$