Zadacha Kuznecov Integraly 14-9

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y={\frac {1}{x{\sqrt {1+\ln {x}}}}},\;y=0,\;x=1,\;x=e^{3}$

Решение

Ответ: 2

Cтроим графики:

Получаем фигуру ограниченную сверху графиком кривой ${\frac {1}{x\cdot {\sqrt {1+\ln {x}}}}}$ слева прямой $x=1$ справа прямой $x={e^{3}}$ снизу $y=0$.

Значит площадь искомой фигуры будет равна интегралу от 1 до ${e^{3}}$ функции ${\frac {1}{x\cdot {\sqrt {1+\ln {x}}}}}$

Берем интегралл:

$\int _{1}^{e^{3}}{\frac {1}{x\cdot {\sqrt {1+\ln {x}}}}}dx=\int _{1}^{e^{3}}{\frac {1}{\sqrt {1+\ln {x}}}}d{\left(\ln {x}\right)}=$

$=\int _{0}^{3}{\frac {1}{\sqrt {1+x}}}dx$ = $2\cdot {\sqrt {1+x}}|_{0}^{3}=2\cdot ({\sqrt {1+3}}-{\sqrt {1+0}})=$

$=2\cdot (2-1)=2$