Zadacha Kuznecov Integraly 14-7

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y=\cos {x}\cdot \sin ^{2}{x},\;y=0,\;\left(0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\right)$

Решение

В точках $~x=0$ и $~x={\frac {\pi }{2}}$ график функции $~y=\cos x\cdot \sin ^{2}x$

пересекает ось абсцисс, так как $~y(0)=y\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0.$

Чертёж искомой области будет таким:

$S=\int \limits _{0}^{\pi /2}\cos x\cdot \sin ^{2}x\;dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}x\;d(\sin x)={\frac {\sin ^{3}x}{3}}{\Biggr |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\sin ^{3}\pi /2}{3}}-{\frac {\sin ^{3}0}{3}}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}$