Zadacha Kuznecov Integraly 14-29

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y=(x-1)^{2},\;y^{2}=x-1$

Решение

$y=(x-1)^{2},\;y^{2}=x-1$

Функцию $y^{2}=x-1$ можно представить как две функции $y$ от $x$:

$y={\sqrt {x-1}};$

$y=-{\sqrt {x-1}};$

Судя по графикам функций, нужная фигура ограничена лишь графиками $y=(x-1)^{2},\;y={\sqrt {x-1}}$ Найдем пределы интегрирования:

$y=(x-1)^{2}=\left(y^{2}\right)^{2}$

$y^{4}-y=0$

$y(y^{3}-1)=0$

$y(y-1)(y^{2}+y+1)=0$

$y=0$ или $y=1$

$y^{2}+y+1>0$ так как $D=1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3$

Тогда:

$y=0\Rightarrow x=1$

$y=1\Rightarrow x=2$

Следовательно пределы интегрирования - $1$ и $2$.

Найдем площадь фигуры как разность площадей подграфиков $y={\sqrt {x-1}}$ и $y=(x-1)^{2}$

$\int \limits _{1}^{2}({\sqrt {x-1}})dx-\int \limits _{1}^{2}(x-1)^{2}dx=$

$=\int \limits _{1}^{2}(x-1)^{\frac {1}{2}}dx-\int \limits _{1}^{2}(x^{2}-2x+1)dx=$

$={\Bigl .}{\frac {2}{3}}(x-1)^{\frac {3}{2}}{\Bigr |}_{1}^{2}-{\Bigl .}({\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {2x^{2}}{2}}+x){\Bigr |}_{1}^{2}=$

$={\frac {2}{3}}-{\frac {8}{3}}+{\frac {8}{2}}-2+{\frac {1}{3}}-1+1$

$={\frac {2}{3}}-{\frac {8}{3}}+{\frac {8}{2}}-2+{\frac {1}{3}}-1+1={\frac {1}{3}}$