Zadacha Kuznecov Integraly 14-23

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y={\frac {x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}},\;y=0,\;x=1$

Решение

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций $y={\frac {x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}},\;y=0$:

${\frac {x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}=0$

$x=0$

В случае $y={\frac {x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}},\;x=1$ очевидно:

$x=1$

Вычисляем площадь:

$S=\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}-0\right)dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x\;dx}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}=$

$={\frac {1}{2}}\cdot \int \limits _{0}^{1}{\frac {d\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot \left.{\frac {1}{-1}}\cdot \left(x^{2}+1\right)^{-1}\right|_{0}^{1}=$

$=-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\left(1^{2}+1\right)^{-1}-\left(0^{2}+1\right)^{-1}\right)=-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}-1\right)=$

$=-{\frac {1}{2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{4}}$