Zadacha Kuznecov Integraly 13-16

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int {\frac {\sqrt[{3}]{\left(1+{\sqrt[{4}]{x^{3}}}\right)^{2}}}{x^{2}\cdot {\sqrt[{4}]{x}}}}dx$

Решение

Представим интеграл в виде дифференциального бинома:

$\int {\frac {\sqrt[{3}]{\left(1+{\sqrt[{4}]{x^{3}}}\right)^{2}}}{x^{2}\cdot {\sqrt[{4}]{x}}}}dx=\int x^{-9/4}(1+x^{3/4})^{2/3}dx$

Произведем замену переменной:

$x=(t^{3/2}-1)^{-4/3}\Rightarrow t=(x^{-3/4}+1)^{2/3}$

$~dx=-2t^{1/2}(t^{3/2}-1)^{-2/3}dt$

Перейдем к новой переменной интегрирования:

$\int x^{-9/4}(1+x^{3/4})^{2/3}dx=$

$=-2\int \left((t^{3/2}-1)^{-4/3}\right)^{-9/4}\left(1+\left((t^{3/2}-1)^{-4/3}\right)^{3/4}\right)^{2/3}t^{1/2}(t^{3/2}-1)^{-2/3}dt=$

$=-2\int (t^{3/2}-1)^{3}t^{1/2}\left(1+(t^{3/2}-1)^{-1}\right)^{2/3}(t^{3/2}-1)^{-2/3}dt=$

Упростим и возьмем получившийся интеграл:

$=-2\int t^{3/2}dt=-{\frac {4}{5}}t^{5/2}+c=$

Вернемся к исходной переменной интегрирования:

$=-{\frac {4}{5}}\left((x^{-3/4}+1)^{2/3}\right)^{5/2}+c=-{\frac {4}{5}}(x^{-3/4}+1)^{5/3}+c$

Ответ:

$\int {\frac {\sqrt[{3}]{\left(1+{\sqrt[{4}]{x^{3}}}\right)^{2}}}{x^{2}\cdot {\sqrt[{4}]{x}}}}dx=-{\frac {4}{5}}(x^{-3/4}+1)^{5/3}+c$