Zadacha Kuznecov Integraly 11-28

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int \limits _{1}^{64}{\frac {6-{\sqrt {x}}+{\sqrt[{4}]{x}}}{{\sqrt {x^{3}}}-7x-6{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}dx$

Решение

$\int \limits _{1}^{64}{\frac {6-{\sqrt {x}}+{\sqrt[{4}]{x}}}{{\sqrt {x^{3}}}-7x-6{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}dx=$

Замена:

$x=t^{4},\;dx=4t^{3}dt$

$x=1\Rightarrow t={\sqrt[{4}]{1}}=1$

$x=64\Rightarrow t={\sqrt[{4}]{64}}=2{\sqrt {2}}$

Получаем:

$=\int \limits _{1}^{2{\sqrt {2}}}{\frac {\left(6-t^{2}+t\right)\cdot 4t^{3}dt}{t^{6}-7t^{4}-6t^{3}}}=-4\cdot \int \limits _{1}^{2{\sqrt {2}}}{\frac {t^{2}-t-6}{t^{3}-7t-6}}dt=$

Разделим знаменатель и числитель на $t^{2}-t-6$:

${\begin{array}{ll}t^{3}-7t-6&|{\underline {t^{2}-t-6}}\\{\underline {t^{3}-t^{2}-6t}}&t+1\\\qquad t^{2}-t-6&\\\qquad {\underline {t^{2}-t-6}}&\\\qquad \qquad \quad \;\;0&\\\end{array}}$

Получаем:

$=-4\cdot \int \limits _{1}^{2{\sqrt {2}}}{\frac {1}{t+1}}dt=-4\cdot \left.\ln {|t+1|}\right|_{1}^{2{\sqrt {2}}}=-4\ln {|2{\sqrt {2}}+1|}+4\ln {|1+1|}=$

$=-4\ln {(2{\sqrt {2}}+1)}+4\ln {2}=4\ln {\left({\frac {2}{2{\sqrt {2}}+1}}\right)}$