Zadacha Kuznecov Integraly 11-12

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int \limits _{0}^{2}{\frac {\left(4{\sqrt {2-x}}-{\sqrt {2x+2}}\right)dx}{\left({\sqrt {2x+2}}+4{\sqrt {2-x}}\right)(2x+2)^{2}}}$

Решение

Введем подстановку:

$t={\sqrt {\frac {2-x}{2x+2}}}$

Тогда

$x={\frac {2-2t^{2}}{2t^{2}+1}}\Rightarrow 2x+2={\frac {6}{2t^{2}+1}}\Rightarrow dx=-{\frac {12t}{(2t^{2}+1)}}dt$

При $x=0,\;t=1$

При $x=2,\;t=0$

Получаем:

$\int \limits _{0}^{2}{\frac {\left(4{\sqrt {2-x}}-{\sqrt {2x+2}}\right)dx}{\left({\sqrt {2x+2}}+4{\sqrt {2-x}}\right)(2x+2)^{2}}}=-\int \limits _{1}^{0}{\frac {(4t-1){\frac {12t}{(2t^{2}+1)^{2}}}}{(1+4t){\frac {36}{(2t^{2}+1)^{2}}}}}dt=$

$=-\int \limits _{1}^{0}{\frac {(4t-1)\cdot 12t}{(1+4t)\cdot 36}}dt={\frac {1}{3}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(4t-1)t}{4t+1}}dt={\frac {1}{3}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {4t^{2}-t}{4t+1}}dt=$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

${\begin{array}{ll}4t^{2}-t&|{\underline {4t+1}}\\{\underline {4t^{2}+t}}&t-{\frac {1}{2}}\\\quad \;-2t&\\\quad \;{\underline {-2t-{\frac {1}{2}}}}&\\\qquad \qquad \;{\frac {1}{2}}&\\\end{array}}$

Получаем:

$={\frac {1}{3}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {4t^{2}-t}{4t+1}}dt={\frac {1}{3}}\int \limits _{0}^{1}\left(\left(t-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\frac {1}{2}}{4t+1}}\right)dt={\frac {1}{3}}\int \limits _{0}^{1}\left(t-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8t+2}}\right)=$

$={\frac {1}{3}}\left(\int \limits _{0}^{1}tdt-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}dt+\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{8t+2}}dt\right)={\frac {1}{3}}\left(\left.{\frac {t^{2}}{2}}\right|_{0}^{1}-\left.{\frac {1}{2}}t\right|_{0}^{1}+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{4t+1}}dt\right)=$

$={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{4t+1}}d(4t+1)\right)={\frac {1}{3}}\left(\left.{\frac {1}{8}}\ln {|4t+1|}\right|_{0}^{1}\right)={\frac {1}{24}}\ln {5}$