Условие задачи [ править ]
Компланарны ли векторы
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
и
c
{\displaystyle c}
?
a
=
{
4
;
3
;
1
}
{\displaystyle a=\left\{4;\ 3;\ 1\right\}}
b
=
{
1
;
−
2
;
1
}
{\displaystyle b=\left\{1;\ -2;\ 1\right\}}
c
=
{
2
;
2
;
2
}
{\displaystyle c=\left\{2;\ 2;\ 2\right\}}
Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle \left(a,\ b,\ c\right)}
было равно нулю.
(
a
,
b
,
c
)
=
|
4
3
1
1
−
2
1
2
2
2
|
=
{\displaystyle \left(a,\ b,\ c\right)=\left|{\begin{matrix}4&3&1\\1&-2&1\\2&2&2\end{matrix}}\right|=}
=
4
⋅
|
−
2
1
2
2
|
−
3
⋅
|
1
1
2
2
|
+
1
⋅
|
1
−
2
2
2
|
=
{\displaystyle =4\cdot \left|{\begin{matrix}-2&1\\2&2\end{matrix}}\right|-3\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\2&2\end{matrix}}\right|+1\cdot \left|{\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}}\right|=}
=
4
⋅
(
−
6
)
−
3
⋅
0
+
1
⋅
6
=
−
24
−
0
+
6
=
−
18
{\displaystyle =4\cdot (-6)-3\cdot 0+1\cdot 6=-24-0+6=-18}
Так как
(
a
,
b
,
c
)
=
−
18
≠
0
{\displaystyle \left(a,\ b,\ c\right)=-18\neq 0}
, то векторы
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
и
c
{\displaystyle c}
не компланарны.