Задача 8

Задача

Доказать формулу бинома Ньютона

$(a+b)^{n}=\sum _{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{n-m}b^{m},$

где $C_{n}^{m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$ (число сочетаний из $n$ элементов по $m$), $k!=1\cdot 2\cdot ...\cdot k,$ причем полагают $0!=1$.

Решение

При $n=1$ имеем

$(a+b)=\sum _{m=0}^{1}C_{1}^{m}a^{1-m}b^{m}={\frac {1!}{0!1!}}a+{\frac {1!}{1!0!}}b=a+b.$

Остается показать, что из предположения справедливости утверждения для $n$ следует, что

$(a+b)^{n+1}=\sum _{m=1}^{n+1}C_{n+1}^{m}a^{n+1-m}b^{m}.$

В самом деле,
$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{n-m}b^{m}=\sum _{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{n+1-m}b^{m}+\sum _{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{n-m}b^{m+1}=\sum _{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{n+1-m}b^{m}+\sum _{m=1}^{n+1}C_{n}^{m-1}a^{n+1-m}b^{m}=$

$=a^{n+1}+\sum _{m=1}^{n}(C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1})a^{n+1-m}b^{m}+b^{n+1}.$

Используя соотношения
$C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}+{\frac {n!}{(m-1)!(n+1-m)!}}={\frac {(n+1)!}{m!(n+1-m)!}}={C_{n+1}}^{m},\;C_{n+1}^{0}=C_{n+1}^{n+1}=1,$
окончательно имеем

$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{m=1}^{n}C_{n+1}^{m}a^{n+1-m}b^{m}+b^{n+1}=\sum _{m=0}^{n+1}C_{n+1}^{m}a^{n+1-m}b^{m}+b^{n}.$