Задача 8

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Задача[править]

Доказать формулу бинома Ньютона

(a+b)^n=\sum_{m=0}^n C_n^ma^{n-m}b^m,

где C_n^m= \frac{n!}{m!(n-m)!} (число сочетаний из n элементов по m), k!=1 \cdot 2 \cdot... \cdot k, причем полагают 0!=1.

Решение[править]

При n=1 имеем

(a+b)=\sum_{m=0}^1 C_1^ma^{1-m}b^m=\frac{1!}{0!1!}a+\frac{1!}{1!0!}b=a+b.

Остается показать, что из предположения справедливости утверждения для n следует, что

(a+b)^{n+1}=\sum_{m=1}^{n+1} C_{n+1}^ma^{n+1-m}b^m.

В самом деле,
(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{m=0}^n C_n^ma^{n-m}b^m=\sum_{m=0}^n C_n^ma^{n+1-m}b^m+\sum_{m=0}^n C_n^ma^{n-m}b^{m+1}= \sum_{m=0}^n C_n^ma^{n+1-m}b^m+\sum_{m=1}^{n+1} C_n^{m-1}a^{n+1-m}b^m=

=a^{n+1}+\sum_{m=1}^{n} (C_n^m+C_n^{m-1})a^{n+1-m}b^m+b^{n+1}.

Используя соотношения
C_n^m+C_n^{m-1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m-1)!(n+1-m)!}=\frac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!}={C_{n+1}}^{m}, \; C_{n+1}^{0}=C_{n+1}^{n+1}=1,
окончательно имеем

(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum_{m=1}^n C_{n+1}^ma^{n+1-m}b^m+b^{n+1}=\sum_{m=0}^{n+1} C_{n+1}^ma^{n+1-m}b^m+b^n.