Из шахты глубиной
H
=
500
{\displaystyle H=500}
м поднимают клеть массой
m
=
500
{\displaystyle m=500}
кг на канате, каждый метр которого имеет массу
m
1
=
1
{\displaystyle m1=1}
кг. Какая работа совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков КПД подъемного устройства?
Дано:
H
=
500
{\displaystyle H=500}
м
m
=
500
{\displaystyle m=500}
кг
m
1
=
1
{\displaystyle m1=1}
кг
Найти:
A
{\displaystyle A}
- ?
η
{\displaystyle \eta }
- ?
Ход решения:
Работа по подъему клети без каната (полезная работа):
A
1
=
m
⋅
g
⋅
H
{\displaystyle A_{1}=m\cdot g\cdot H}
Работа по подъему каната:
d
h
{\displaystyle dh}
-длина,
d
m
{\displaystyle dm}
- масса,
d
m
⋅
g
{\displaystyle dm\cdot g}
- сила тяжести. Тогда:
d
A
2
{\displaystyle dA_{2}}
- элементарная работа по равномерному подъему (внешняя сила dF равна силе тяжести элемента каната на высоту
h
{\displaystyle h}
будет равна:
d
A
2
=
d
F
⋅
h
=
d
m
⋅
g
⋅
h
{\displaystyle dA_{2}=dF\cdot h=dm\cdot g\cdot h}
Масса каждого метра каната известна -
m
1
=
1
{\displaystyle m1=1}
кг. Получаем:
d
A
2
=
m
1
⋅
d
h
⋅
g
⋅
h
{\displaystyle dA_{2}=m1\cdot dh\cdot g\cdot h}
Проинтегрируем:
A
2
=
m
1
⋅
g
⋅
∫
0
H
h
⋅
d
h
=
m
1
⋅
g
⋅
H
2
2
{\displaystyle A_{2}=m1\cdot g\cdot \int _{0}^{H}h\cdot dh=m1\cdot g\cdot {\frac {H^{2}}{2}}}
Общая работа по подъему клети с канатом:
A
=
A
1
+
A
2
=
m
⋅
g
⋅
H
+
m
1
⋅
g
⋅
H
2
2
=
g
⋅
H
⋅
(
m
+
m
1
⋅
H
2
)
{\displaystyle A=A_{1}+A_{2}=m\cdot g\cdot H+m1\cdot g\cdot {\frac {H^{2}}{2}}=g\cdot H\cdot \left(m+{\frac {m1\cdot H}{2}}\right)}
A
=
9
,
8
⋅
500
⋅
(
500
+
1
⋅
500
2
)
=
9
,
8
⋅
500
⋅
750
=
3
,
675
⋅
10
6
{\displaystyle A=9{,}8\cdot 500\cdot \left(500+{\frac {1\cdot 500}{2}}\right)=9{,}8\cdot 500\cdot 750=3,675\cdot 10^{6}}
Дж
A
≈
3
,
7
{\displaystyle A\approx 3,7}
МДж
КПД подъемного устройства:
η
=
A
1
A
=
m
⋅
g
⋅
H
g
⋅
H
⋅
(
m
+
m
1
⋅
H
2
)
=
m
m
+
m
1
⋅
H
2
{\displaystyle \eta ={\frac {A1}{A}}={\frac {m\cdot g\cdot H}{g\cdot H\cdot \left(m+{\frac {m1\cdot H}{2}}\right)}}={\frac {m}{m+{\frac {m1\cdot H}{2}}}}}
η
=
500
500
+
1
⋅
500
2
=
500
750
=
2
3
{\displaystyle \eta ={\frac {500}{500+{\frac {1\cdot 500}{2}}}}={\frac {500}{750}}={\frac {2}{3}}}
, т.е.
η
≈
67
{\displaystyle \eta \approx 67}
%
Ответ:
A
≈
3
,
7
{\displaystyle A\approx 3,7}
МДж
η
≈
67
{\displaystyle \eta \approx 67}
%