Условие задачи [ править ] При освещении двух параллельных щелей светом с длиной волны 500 нм, оказалось, что на экране, расположенном на расстоянии 4м от щелей, светлые соседние полосы отстоят друг от друга на 2 см. Каково расстояние между щелями?
По условию:
Δ
x
=
0
,
02
{\displaystyle \Delta x=0{,}02}
L
=
4
{\displaystyle L=4}
λ
=
5
⋅
10
−
7
{\displaystyle \lambda =5\cdot 10^{-7}}
Рассмотрим рисунок (нажмите на рисунке, чтобы перейти к просмотру рисунка в более высоком разрешении):
Пусть на экране Э , вдоль которого расположена ось 0х , в точке А с координатой
x
m
{\displaystyle x_{m}}
m -го порядка, а в точке В с координатой
x
m
−
1
{\displaystyle x_{m-1}}
(m-1) -го порядка, тогда ширина интерференционной полосы
Δ
x
=
x
m
−
x
m
−
1
{\displaystyle \Delta x=x_{m}-x_{m-1}}
А и В наблюдались максимумы, необходимо, чтобы оптическая разность хода волн, идущих от щелей
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
Δ
m
=
S
2
A
−
S
1
A
=
m
⋅
λ
{\displaystyle \Delta _{m}=S_{2}A-S_{1}A=m\cdot \lambda }
m
=
0
,
1
,
2
,
…
.
{\displaystyle m=0,1,2,\dots .}
Из
Δ
S
1
A
C
{\displaystyle \Delta S_{1}AC}
(
S
1
A
)
2
=
L
2
+
(
O
A
−
O
C
)
2
.
{\displaystyle (S_{1}A)^{2}=L^{2}+(OA-OC)^{2}.}
Из
Δ
S
2
A
D
{\displaystyle \Delta S_{2}AD}
(
S
2
A
)
2
=
L
2
+
(
O
A
+
O
D
)
2
,
{\displaystyle (S_{2}A)^{2}=L^{2}+(OA+OD)^{2},}
где
O
C
=
O
D
=
d
2
,
A
O
=
x
m
.
{\displaystyle OC=OD={\frac {d}{2}},\ AO=x_{m}.}
(
S
1
A
)
2
=
L
2
+
(
x
m
−
d
2
)
2
,
{\displaystyle (S_{1}A)^{2}=L^{2}+(x_{m}-{\frac {d}{2}})^{2},}
(
S
2
A
)
2
=
L
2
+
(
x
m
+
d
2
)
2
.
{\displaystyle (S_{2}A)^{2}=L^{2}+(x_{m}+{\frac {d}{2}})^{2}.}
Вычтем из второго уравнения первое:
(
S
2
A
)
2
−
(
S
1
A
)
2
=
L
2
+
(
x
m
+
d
2
)
2
−
L
2
−
(
x
m
−
d
2
)
2
=
{\displaystyle (S_{2}A)^{2}-(S_{1}A)^{2}=L^{2}+(x_{m}+{\frac {d}{2}})^{2}-L^{2}-(x_{m}-{\frac {d}{2}})^{2}=}
=
(
x
m
2
+
2
x
m
d
2
+
d
2
4
)
−
(
x
m
2
−
2
x
m
d
2
+
d
2
4
)
=
2
x
m
d
,
{\displaystyle =\left(x_{m}^{2}+2x_{m}{\frac {d}{2}}+{\frac {d^{2}}{4}}\right)-\left(x_{m}^{2}-2x_{m}{\frac {d}{2}}+{\frac {d^{2}}{4}}\right)=2x_{m}d,}
(
S
2
A
−
S
1
A
)
⋅
(
S
2
A
+
S
1
A
)
=
2
x
m
d
.
{\displaystyle (S_{2}A-S_{1}A)\cdot (S_{2}A+S_{1}A)=2x_{m}d.}
Так как OA<<L , OC<<L , OD<<L , то можно положить:
S
1
A
=
S
2
A
=
L
,
{\displaystyle S_{1}A=S_{2}A=L,}
тогда получим:
Δ
m
⋅
2
L
=
2
x
m
d
,
{\displaystyle \Delta _{m}\cdot 2L=2x_{m}d,}
x
m
=
L
d
Δ
m
,
{\displaystyle x_{m}={\frac {L}{d}}\Delta _{m},}
x
m
−
1
=
L
d
Δ
m
−
1
,
{\displaystyle x_{m-1}={\frac {L}{d}}\Delta _{m-1},}
Δ
x
=
x
m
−
x
m
−
1
=
L
d
(
Δ
m
−
Δ
m
−
1
)
=
{\displaystyle \Delta x=x_{m}-x_{m-1}={\frac {L}{d}}(\Delta _{m}-\Delta _{m-1})=}
=
L
d
(
m
λ
−
(
m
−
1
)
λ
)
=
L
d
λ
{\displaystyle ={\frac {L}{d}}(m\lambda -(m-1)\lambda )={\frac {L}{d}}\lambda }
Откуда:
d
=
L
Δ
x
λ
=
4
0
,
02
5
⋅
10
−
7
=
10
−
4
{\displaystyle d={\frac {L}{\Delta x}}\lambda ={\frac {4}{0{,}02}}5\cdot 10^{-7}=10^{-4}}
0
,
1
{\displaystyle 0{,}1}
Ответ: расстояние между щелями 0,1 мм.
