Задача Кузнецов Ряды 4-2

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {1}{\sqrt {n}}}$

Решение

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {1}{\sqrt {n}}}$

Так как при $~\alpha \rightarrow 0,\operatorname {tg} {\alpha }\sim \alpha$, то при $~n\rightarrow \infty ;\;\operatorname {tg} {\frac {1}{\sqrt {n}}}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}$

Поэтому ${\frac {1}{n}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {1}{\sqrt {n}}}\sim {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{n^{3/2}}}$

Сравним данный нам ряд с рядом: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3/2}}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{n}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {1}{\sqrt {n}}}}{\frac {1}{n^{3/2}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {n}}}}{\frac {1}{n^{3/2}}}}=1\neq 0,\infty$

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{3/2}}}\,dx={\frac {-2}{x^{1/2}}}{\Bigr |}_{1}^{\infty }=2\neq \infty \Rightarrow$ этот интеграл сходится

$\Rightarrow ^{(*)}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3/2}}}$ сходится ( по интегральному признаку Коши )

$\Rightarrow$ исходный ряд тоже сходится ( по предельному признаку сравнения )

$~{(*)}$ очевидно что для последовательности $\left\{{\frac {1}{n^{3/2}}}\right\}$ выполняется

1) $~{\frac {1}{n^{3/2}}}\geq 0$ при $~n\geq 1$

2) последовательность монотонно убывает

3) она определена при любых $~n\geq 1$, т.е. непрерывна при $~n\geq 1$

Поэтому можно применить интегральный признак Коши