Задача Кузнецов Ряды 4-18

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\ln {\frac {n^{3}}{n^{3}+1}}$

Решение

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\ln {\frac {n^{3}}{n^{3}+1}}$

Сравним данный ряд с рядом: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$

Так как при $~\alpha \rightarrow 0,\ln(1+\alpha )\sim \alpha$, то при $~\alpha =-{\frac {1}{n^{3}+1}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln \left(1-{\frac {1}{n^{3}+1}}\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{n^{3}+1}}}{\frac {1}{n^{3}}}}=$

$=-\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{3}}{n^{3}+1}}=-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {1}{n^{3}}}}}=-1\neq 0,\infty$

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{3}}}\,dx={\frac {-1}{2x^{2}}}{\Bigr |}_{1}^{\infty }={\frac {1}{2}}\neq \infty \Rightarrow$ этот интеграл сходится

$\Rightarrow ^{(*)}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$ сходится ( по интегральному признаку Коши )

$\Rightarrow$ исходный ряд тоже сходится ( по предельному признаку сравнения )

$~{(*)}$ очевидно что для последовательности $\left\{{\frac {1}{n^{3}}}\right\}$ выполняется

1) $~{\frac {1}{n^{3}}}\geq 0$ при $~n\geq 1$

2) последовательность монотонно убывает

3) она определена при любых $~n\geq 1$, т.е. непрерывна при $~n\geq 1$

Поэтому можно применить интегральный признак Коши