Задача Кузнецов Ряды 4-13

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд:

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n+5}}}\cdot \sin {\frac {1}{n-1}}$

Решение

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n+5}}}\cdot \sin {\frac {1}{n-1}}$

Сравним данный ряд с рядом: $\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{4/3}}}$

Так как при $~\alpha \rightarrow 0,\sin {\alpha }\sim \alpha ,$ то при $~\alpha ={\frac {1}{n-1}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n+2}}}\cdot \sin {\frac {1}{n-1}}}{\frac {1}{n^{4/3}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n+2}}}\cdot {\frac {1}{n-1}}}{\frac {1}{n^{4/3}}}}=1\neq 0,\infty$

$\int \limits _{2}^{\infty }{\frac {1}{x^{4/3}}}\,dx={\frac {-3}{x^{1/3}}}{\Bigr |}_{2}^{\infty }={\frac {3}{\sqrt[{3}]{2}}}\neq \infty \Rightarrow$ этот интеграл сходится $\Rightarrow ^{(*)}\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{4/3}}}$ сходится ( по интегральному признаку Коши )

$\Rightarrow$ исходный ряд тоже сходится ( по предельному признаку сравнения )

$~{(*)}$ очевидно что для последовательности $\left\{{\frac {1}{n^{4/3}}}\right\}$ выполняется

1) $~{\frac {1}{n^{4/3}}}\geq 0$ при $~n\geq 2$

2) последовательность монотонно убывает

3) она определена при любых $~n\geq 2$, т.е. непрерывна при $~n\geq 2$

Поэтому можно применить интегральный признак Коши