Задача Кузнецов Ряды 4-11

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n}}}\cdot \operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4{\sqrt {n}}}}$

Решение

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n}}}\cdot \operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4{\sqrt {n}}}}$

Обозначим $a_{n}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{n}}}\cdot \operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4{\sqrt {n}}}}$

Так как при $~\alpha \rightarrow 0,\operatorname {arctg} {\alpha }\sim \alpha ,\;$ то при $~n\rightarrow \infty ;\;\alpha ={\frac {\pi }{4{\sqrt {n}}}}$

Тогда при $~n\rightarrow \infty ,$ верно следующее утверждение: $a_{n}\geq {\frac {1}{n^{1/3}}}\cdot {\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {1}{n^{1/2}}}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {1}{n^{5/6}}}$

Так как ряд $~\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{a}}}$ сходится только при условии $~a>1$ и расходится при $~a\leq 1$

В таком случае ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5/6}}}$ - расходится (т.к. нарушается условие сходимости) $~\Rightarrow$

$\Rightarrow$ исходный ряд тоже расходится ( по предельному признаку сравнения )