Исследовать на сходимость ряд:
∀ x 1 , x 2 ∈ [ 0 , 1 ] s t x 1 ⩽ x 2 ⇒ arcsin x 1 ⩽ arcsin x 2 . {\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]\ st\ x_{1}\leqslant x_{2}\Rightarrow \arcsin x_{1}\leqslant \arcsin x_{2}.} Отсюда arcsin 3 + ( − 1 ) n 4 ⩽ arcsin 3 + 1 4 = arcsin 1 ⇒ arcsin 3 + ( − 1 ) n 4 2 n + n ⩽ arcsin 1 2 n + n ∼ π 2 ⋅ 2 n = π 2 n + 1 . {\displaystyle \arcsin {\frac {3+(-1)^{n}}{4}}\leqslant \arcsin {\frac {3+1}{4}}=\arcsin 1\Rightarrow {\frac {\arcsin {\frac {3+(-1)^{n}}{4}}}{2^{n}+n}}\leqslant {\frac {\arcsin 1}{2^{n}+n}}\sim {\frac {\pi }{2\cdot 2^{n}}}={\frac {\pi }{2^{n+1}}}.} Поскольку ряд ∑ n = 1 ∞ π 2 n + 1 {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi }{2^{n+1}}}} сходится, то, по признаку сравнения, сходится и ряд ∑ n = 1 ∞ arcsin 3 + ( − 1 ) n 4 2 n + n . {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\arcsin {\frac {3+(-1)^{n}}{4}}}{2^{n}+n}}.}
![{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]\ st\ x_{1}\leqslant x_{2}\Rightarrow \arcsin x_{1}\leqslant \arcsin x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abd4040412b77839ad899cb69d4fb90a30e9fe7)
