Исследовать на сходимость ряд:
Когда n → ∞ , {\displaystyle n\to \infty ,} то cos 2 π 3 n → 1. {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3n}}\to 1.} 2 cos 2 π 3 n n 4 − 1 4 ∼ 2 n 4 − 1 4 ∼ 2 n 4 4 = 2 n . {\displaystyle {\frac {2\cos {\frac {2\pi }{3n}}}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}\sim {\frac {2}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}\sim {\frac {2}{\sqrt[{4}]{n^{4}}}}={\frac {2}{n}}.} Поскльку ряд ∑ n = 2 ∞ 2 n {\displaystyle \sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {2}{n}}} расходиться, то, по признаку сравнения, расходиться и ряд ∑ n = 2 ∞ 2 cos 2 π 3 n n 4 − 1 4 . {\displaystyle \sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {2\cos {\frac {2\pi }{3n}}}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}.}
![{\displaystyle \sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {2\cos {\frac {2\pi }{3n}}}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f463044ac124b0902e712f2108e5cf050bac0ca0)
![{\displaystyle {\frac {2\cos {\frac {2\pi }{3n}}}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}\sim {\frac {2}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}\sim {\frac {2}{\sqrt[{4}]{n^{4}}}}={\frac {2}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ef290493aa3c35e6f52d56ddc4e164a44e5411)
![{\displaystyle \sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {2\cos {\frac {2\pi }{3n}}}{\sqrt[{4}]{n^{4}-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ab34c2c4226a68baebfbad76970bdeba4cadda)