Исследовать на сходимость ряд:
arctg n 2 − 1 → π 2 , n → ∞ ⇒ 3 π ⋅ arctg n 2 − 1 n 2 − n ∼ 3 π ⋅ π 2 n 2 − n ∼ 3 2 n 2 = 3 2 n . {\displaystyle \operatorname {arctg} {\sqrt {n^{2}-1}}\to {\frac {\pi }{2}},n\to \infty \Rightarrow {\frac {{\frac {3}{\pi }}\cdot \operatorname {arctg} {\sqrt {n^{2}-1}}}{\sqrt {n^{2}-n}}}\sim {\frac {{\frac {3}{\pi }}\cdot {\frac {\pi }{2}}}{\sqrt {n^{2}-n}}}\sim {\frac {3}{2{\sqrt {n^{2}}}}}={\frac {3}{2n}}.} Поскольку ряд ∑ n = 1 ∞ 3 2 n {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{2n}}} расходиться, то, по признаку сравнения, расходится и ряд ∑ n = 1 ∞ 3 π ⋅ arctg n 2 − 1 n 2 − n . {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {{\frac {3}{\pi }}\cdot \operatorname {arctg} {\sqrt {n^{2}-1}}}{\sqrt {n^{2}-n}}}.}
