Zadacha Kuznecov Predely 11-22(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-22(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {2x}}{\sin {3(x+\pi )}}}$

Решение

$\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {2x}}{\sin {3(x+\pi )}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {2x}}{\sin {(3x+3\pi )}}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {2x}}{\sin {(3x+\pi )}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {2x}}{-\sin {3x}}}=$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\arcsin {2x}\sim 2x$, при $x\to 0(2x\to 0)$

$\sin {3x}\sim 3x$, при $x\to 0(3x\to 0)$

Получаем:

$=\lim _{x\to 0}{\frac {2x}{-3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2}{-3}}=-{\frac {2}{3}}$