Задача Кузнецов Кратные интегралы 1-11

Условие задачи

Изменить порядок интегрирования:

$\int \limits _{0}^{1}dx\int \limits _{1-x^{2}}^{1}f\;dy+\int \limits _{1}^{e}dx\int \limits _{\ln {x}}^{1}f\;dy$

Решение

$x\in [0;\ e]$
$y=1-x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {1-y}},$
$y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y}$
Из картинки видно, что когда $y$ меняется от $0$ до $1$, то $x$ меняется от ${\sqrt {1-y}}$ до $e^{y}$. Окончательно имеем, $\int \limits _{0}^{1}dx\int \limits _{1-x^{2}}^{1}f\;dy+\int \limits _{1}^{e}dx\int \limits _{\ln {x}}^{1}f\;dy=\int \limits _{0}^{1}dy\int \limits _{\sqrt {1-y}}^{e^{y}}f\;dx$