Задача Кузнецов Дифференцирование 15-17

Условие задачи

Найти производную $y'_{x}$.

${\begin{cases}x=\arccos {\frac {1}{t}}\\y={\sqrt {t^{2}-1}}+\arcsin {\frac {1}{t}}\end{cases}}$

Решение

$x'_{t}=\left(\arccos {\frac {1}{t}}\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{t}}\right)^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{t^{2}}}\right)={\frac {1}{t\cdot {\sqrt {t^{2}-1}}}}$

$y'_{t}=\left({\sqrt {t^{2}-1}}+\arcsin {\frac {1}{t}}\right)'={\frac {1}{2{\sqrt {t^{2}-1}}}}\cdot 2t+{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{t}}\right)^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{t^{2}}}\right)=$

$={\frac {t^{2}}{t\cdot {\sqrt {t^{2}-1}}}}-{\frac {1}{t\cdot {\sqrt {t^{2}-1}}}}={\frac {t^{2}-1}{t\cdot {\sqrt {t^{2}-1}}}}={\frac {\sqrt {t^{2}-1}}{t}}$

Получаем:

$y'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}=\left({\frac {\sqrt {t^{2}-1}}{t}}\right)/\left({\frac {1}{t\cdot {\sqrt {t^{2}-1}}}}\right)={\frac {{\sqrt {t^{2}-1}}\cdot t\cdot {\sqrt {t^{2}-1}}}{t}}=$

$=t^{2}-1$