Задача Кузнецов Дифференцирование 15-1

Условие задачи

Найти производную $y'_{x}$.

${\begin{cases}x={\frac {3t^{2}+1}{3t^{3}}}\\y=\sin {\left({\frac {t^{3}}{3}}+t\right)}\end{cases}}$

Решение

$x'_{t}=\left({\frac {3t^{2}+1}{3t^{3}}}\right)'=\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{3t^{3}}}\right)'=-{\frac {1}{t^{2}}}-{\frac {1}{t^{4}}}=-{\frac {t^{2}+1}{t^{4}}}$

$y'_{t}=\left(\sin {\left({\frac {t^{3}}{3}}+t\right)}\right)'=\cos {\left({\frac {t^{3}}{3}}+t\right)}\cdot \left(t^{2}+1\right)$

Получаем:

$y'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}=\left(\cos {\left({\frac {t^{3}}{3}}+t\right)}\cdot \left(t^{2}+1\right)\right)/\left(-{\frac {t^{2}+1}{t^{4}}}\right)=-{\frac {t^{4}\cdot \cos {\left({\frac {t^{3}}{3}}+t\right)}\cdot \left(t^{2}+1\right)}{\left(t^{2}+1\right)}}=$

$=-t^{4}\cdot \cos {\left({\frac {t^{3}}{3}}+t\right)}$