Задача Кузнецов Дифференцирование 14-16

Условие задачи

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$y=\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}{1-\operatorname {tg} {x}}}$

Решение

$y'=\left(\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}{1-\operatorname {tg} {x}}}\right)'={\frac {1}{1+\left({\frac {\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}{1-\operatorname {tg} {x}}}\right)^{2}}}\cdot \left({\frac {\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}{1-\operatorname {tg} {x}}}\right)'=$

$={\frac {\left(1-\operatorname {tg} {x}\right)^{2}}{\left(1-\operatorname {tg} {x}\right)^{2}+2\operatorname {tg} {x}}}\cdot {\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}\cdot \left(1-\operatorname {tg} {x}\right)-{\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}\cdot \left(-{\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}\right)}{\left(1-\operatorname {tg} {x}\right)^{2}}}=$

$={\frac {\left(1-\operatorname {tg} {x}\right)+{\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}{x}\right)\cdot {\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}\cdot \cos ^{2}{x}}}={\frac {1-\operatorname {tg} {x}+{\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}}{\left(\cos ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}\right)\cdot {\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} {x}+{\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}}{\sqrt {2\operatorname {tg} {x}}}}$