Задача Кузнецов Дифференцирование 14-1

Условие задачи

Найти производную.

$y={\frac {1}{\sin {\alpha }}}\ln {\left(\operatorname {tg} {x}+\operatorname {ctg} {\alpha }\right)}$

Решение

$y'=\left({\frac {1}{\sin {\alpha }}}\ln {\left(\operatorname {tg} {x}+\operatorname {ctg} {\alpha }\right)}\right)'={\frac {1}{\sin {\alpha }}}\cdot {\frac {1}{\operatorname {tg} {x}+\operatorname {ctg} {\alpha }}}\cdot {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}=$

$={\frac {1}{{\frac {\sin {\alpha }\cdot \sin {x}\cdot \cos ^{2}{x}}{\cos {x}}}+{\frac {\sin {\alpha }\cdot \cos {\alpha }\cdot \cos ^{2}{x}}{\sin {\alpha }}}}}={\frac {1}{\sin {\alpha }\cdot \sin {x}\cdot \cos {x}+\cos {\alpha }\cdot \cos ^{2}{x}}}=$

$={\frac {1}{\cos {x}\cdot \left(\sin {\alpha }\cdot \sin {x}+\cos {\alpha }\cdot \cos {x}\right)}}={\frac {1}{\cos {x}\cdot \cos {\left(\alpha -x\right)}}}$