Задача Кузнецов Дифференцирование 12-25

Условие задачи

Найти производную.

$y={\frac {2}{3x-2}}{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}+\ln {\frac {1+{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}{3x-2}}$

Решение

Пусть $z(x)={\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}$. Получаем:

$z'={\frac {1}{2{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}}\cdot \left(-3+12x-9x^{2}\right)'=$

$={\frac {12-18x}{2{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}}={\frac {-3(3x-2)}{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}={\frac {-3(3x-2)}{z}}$

Тогда:

$y'=\left({\frac {2}{3x-2}}{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}+\ln {\frac {1+{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}{3x-2}}\right)'=$

$=\left({\frac {2z}{3x-2}}+\ln {\frac {1+z}{3x-2}}\right)'=\left({\frac {2z}{3x-2}}\right)'+\left(\ln {\frac {1+z}{3x-2}}\right)'=$

$=2{\frac {z'\cdot (3x-2)-z\cdot (3x-2)'}{(3x-2)^{2}}}+{\frac {3x-2}{1+z}}\cdot \left({\frac {1+z}{3x-2}}\right)'=$

$=2{\frac {z'\cdot (3x-2)-3z}{(3x-2)^{2}}}+{\frac {3x-2}{1+z}}\cdot {\frac {(1+z)'\cdot (3x-2)-(1+z)\cdot (3x-2)'}{(3x-2)^{2}}}=$

$=2{\frac {z'\cdot (3x-2)-3z}{(3x-2)^{2}}}+{\frac {3x-2}{1+z}}\cdot {\frac {z'\cdot (3x-2)-3(1+z)}{(3x-2)^{2}}}=$

$=2{\frac {{\frac {-3(3x-2)}{z}}\cdot (3x-2)-3z}{(3x-2)^{2}}}+{\frac {3x-2}{1+z}}\cdot {\frac {{\frac {-3(3x-2)}{z}}\cdot (3x-2)-3(1+z)}{(3x-2)^{2}}}=$

$=-{\frac {6}{z}}-{\frac {3z}{(3x-2)^{2}}}-3\cdot {\frac {3x-2}{z(1+z)}}-{\frac {3}{3x-2}}=$

$=-{\frac {6}{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}-{\frac {3{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}}{(3x-2)^{2}}}-3\cdot {\frac {3x-2}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(1+{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}})}}-{\frac {3}{3x-2}}=$

$=-3\left({\frac {2(3x-2)^{2}}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}+{\frac {-3+12x-9x^{2}}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}+\right.$

$\left.+{\frac {(3x-2)(1-{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}})}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}+{\frac {{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}\right)=$

$=-3\left({\frac {18x^{2}-24x+8-3+12x-9x^{2}}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}+{\frac {3x-2}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}\right)=$

$=-3\cdot {\frac {9x^{2}-12x+2}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}=-3\cdot {\frac {(3x-1)\cdot (3x-2)}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)^{2}}}=$

$=-3\cdot {\frac {3x-1}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)}}={\frac {3-9x}{{\sqrt {-3+12x-9x^{2}}}(3x-2)}}$