Задача Кузнецов Дифференцирование 12-12

Условие задачи

Найти производную.

$y={\frac {x+2}{x^{2}+4x+6}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \operatorname {arctg} {\frac {x+2}{\sqrt {2}}}$

Решение

$y'=\left({\frac {x+2}{x^{2}+4x+6}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \operatorname {arctg} {\frac {x+2}{\sqrt {2}}}\right)'={\frac {x^{2}+4x+6-(x+2)\cdot (2x+4)}{\left(x^{2}+4x+6\right)^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {x+2}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}=$

$={\frac {x^{2}+4x+6-2x^{2}-4x-4x-8}{\left(x^{2}+4x+6\right)^{2}}}+{\frac {1}{2+(x+2)^{2}}}={\frac {-x^{2}-4x-2}{\left(x^{2}+4x+6\right)^{2}}}+{\frac {x^{2}+4x+6}{\left(x^{2}+4x+6\right)^{2}}}=$

$={\frac {-x^{2}-4x-2+x^{2}+4x+6}{\left(x^{2}+4x+6\right)^{2}}}={\frac {4}{\left(x^{2}+4x+6\right)^{2}}}$