Задача Кузнецов Дифференцирование 11-8

Условие задачи

Найти производную.

$y=x^{e^{\operatorname {tg} {x}}}$

Решение

$y=x^{e^{\operatorname {tg} {x}}}$

$\ln {y}=e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \ln {x}$

${\frac {y'}{y}}=\left(e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \ln {x}\right)'=\left(e^{\operatorname {tg} {x}}\right)'\cdot \ln {x}+e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \left(\ln {x}\right)'=$

$=e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \left(\operatorname {tg} {x}\right)'\cdot \ln {x}+e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot {\frac {1}{x}}=e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \left({\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}\cdot \ln {x}+{\frac {1}{x}}\right)$

$y'=y\cdot e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \left({\frac {\ln {x}}{\cos ^{2}{x}}}+{\frac {1}{x}}\right)=x^{e^{\operatorname {tg} {x}}}\cdot e^{\operatorname {tg} {x}}\cdot \left({\frac {\ln {x}}{\cos ^{2}{x}}}+{\frac {1}{x}}\right)$