Задача Кузнецов Дифференцирование 10-26

Условие задачи

Найти производную.

$y={\frac {3}{2}}\cdot \ln {\left(\operatorname {th} {\frac {x}{2}}\right)}+\operatorname {ch} {x}-{\frac {\operatorname {ch} {x}}{2\operatorname {sh} ^{2}{x}}}$

Решение

$y'=\left({\frac {3}{2}}\cdot \ln {\left(\operatorname {th} {\frac {x}{2}}\right)}+\operatorname {ch} {x}-{\frac {\operatorname {ch} {x}}{2\operatorname {sh} ^{2}{x}}}\right)'=$

$={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}\cdot {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}}}\cdot {\frac {1}{2}}+\operatorname {sh} {x}-{\frac {\left(\operatorname {ch} {x}\right)'\cdot \operatorname {sh} ^{2}{x}-\operatorname {ch} {x}\cdot \left(\operatorname {sh} ^{2}{x}\right)'}{2\operatorname {sh} ^{4}{x}}}=$

$={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2\operatorname {sh} {\frac {x}{2}}\cdot \operatorname {ch} {\frac {x}{2}}}}+\operatorname {sh} {x}-{\frac {\operatorname {sh} {x}\cdot \operatorname {sh} ^{2}{x}-\operatorname {ch} {x}\cdot 2\operatorname {sh} {x}\cdot \operatorname {ch} {x}}{2\operatorname {sh} ^{4}{x}}}=$

$={\frac {3}{2\operatorname {sh} {x}}}+\operatorname {sh} {x}-{\frac {\operatorname {sh} ^{2}{x}-2\operatorname {ch} ^{2}{x}}{2\operatorname {sh} ^{3}{x}}}={\frac {3\operatorname {sh} ^{2}{x}+2\operatorname {sh} ^{4}{x}-\operatorname {sh} ^{2}{x}+2\operatorname {ch} ^{2}{x}}{2\operatorname {sh} ^{3}{x}}}=$

$={\frac {2\operatorname {sh} ^{2}{x}+2\operatorname {sh} ^{4}{x}+2\operatorname {ch} ^{2}{x}}{2\operatorname {sh} ^{3}{x}}}={\frac {\operatorname {sh} ^{2}{x}\left(1+\operatorname {sh} ^{2}{x}\right)+\operatorname {ch} ^{2}{x}}{\operatorname {sh} ^{3}{x}}}=$

$={\frac {\operatorname {sh} ^{2}{x}\cdot \operatorname {ch} ^{2}{x}+\operatorname {ch} ^{2}{x}}{\operatorname {sh} ^{3}{x}}}={\frac {\operatorname {ch} ^{2}{x}\cdot \left(\operatorname {sh} ^{2}{x}+1\right)}{\operatorname {sh} ^{3}{x}}}={\frac {\operatorname {ch} ^{2}{x}\cdot \operatorname {ch} ^{2}{x}}{\operatorname {sh} ^{3}{x}}}={\frac {\operatorname {ch} ^{4}{x}}{\operatorname {sh} ^{3}{x}}}$