Задача Кузнецов Дифференцирование 1-8

Условие задачи

Исходя из определения производной, найти $f'(0)$:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}\cos {\left({\frac {4}{3x}}\right)}+{\frac {x^{2}}{2}},\;x\neq 0;\\0,\;x=0\end{matrix}}\right.$

Решение

По определению производная в точке $x=0$:

$f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}$

Исходя из определения находим:

$f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}\cos {\left({\frac {4}{3x}}\right)}+{\frac {x^{2}}{2}}-0}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}\cos {\left({\frac {4}{3x}}\right)}+{\frac {x^{2}}{2}}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left(x\cos {\left({\frac {4}{3x}}\right)}+{\frac {x}{2}}\right)=$

Так как $\cos {\left({\frac {4}{3x}}\right)}$ - ограничена, то

$\Delta x\cdot \cos {\left({\frac {4}{3x}}\right)}\to 0$, при $\Delta x\to 0$

Тогда:

$=0+{\frac {0}{2}}=0$

Т.е. $f'(0)=0$