Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 9-8

Условие задачи

Найти линию, проходящую через точку $M_{0}$, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении $a:b$ (считая от оси $Oy$).

$M_{0}(0,\;1),\;a:b=2:3$

Решение

Уравнение нормали к функции $f(x)$ в точке $x_{0}$:

$y(x)=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}\cdot (x-x_{0})$

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую искомой линии:

$M(x,f(x))$

Точки пересечения нормали к искомой кривой в этой точке с осями координат обозначим $N$ и $P$

$N(0,f(x)-{\frac {x}{f'(x)}})$ - точка пересечения с осью $0y$

$P(x+f(x)\cdot f'(x),0)$ - точка пересечения с осью $0x$

По условию отрезок $NP$ делится точкой $M$ таким образом, что:

${\frac {|NM|}{|MP|}}={\frac {a}{b}}\;\Rightarrow \;a\cdot |MP|=b\cdot |NM|$

Тогда из этого вытекает следующее уравнение:

$a{\sqrt {\left(f(x)\cdot f'(x)\right)^{2}+\left(f(x)\right)^{2}}}=b{\sqrt {x^{2}+\left({\frac {x}{f'(x)}}\right)^{2}}}$

$a^{2}\cdot f^{2}(x)\cdot \left((f'(x))^{2}+1\right)=b^{2}\cdot x^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{f'(x)}}\right)^{2}$

$a^{2}\cdot f^{2}(x)\cdot \left((f'(x))^{2}+1\right)=b^{2}\cdot x^{2}\cdot {\frac {(f'(x))^{2}+1}{(f'(x))^{2}}}$

$a^{2}\cdot f^{2}(x)={\frac {b^{2}\cdot x^{2}}{(f'(x))^{2}}}$

${\frac {b\cdot x}{f'(x)}}=\pm a\cdot f(x)$

Это уравнение можно привеси к виду уравнения с разделяющимися переменными:

$bx=\pm af(x){\frac {d(f(x))}{dx}}\;\Rightarrow \;f(x)\;d(f(x))=\pm {\frac {b}{a}}\cdot x\;dx$

Проинтегрировав обе части этого уравнения, получим :

$\int f(x)\;d(f(x))=\pm \int {\frac {b}{a}}\cdot x\;dx\;\Rightarrow \;{\frac {f^{2}(x)}{2}}=\pm {\frac {bx^{2}}{2a}}+C$

$\Rightarrow \;f(x)=\pm x{\sqrt {\frac {b}{a}}}+C$

Найдем $C$ из условия, что $f(x)$ проходит через заданную точку $M_{0}$

$M_{0}(0,1);\;a:b=2:3\;\Rightarrow \;1=\pm 0\cdot {\sqrt {\frac {3}{2}}}+C\;\Rightarrow \;C=1$

Таким образом искомая линия описывается одним из следующих уравнений ( они оба удовлетворяют условию задачи ) :

$f(x)=x{\sqrt {\frac {3}{2}}}+1$

$f(x)=-x{\sqrt {\frac {3}{2}}}+1$