Условие задачи [ править ]
Найти линию, проходящую через точку
M
0
{\displaystyle M_{0}}
и обладающую тем свойством, что в любой ее точке
M
{\displaystyle M}
нормальный вектор
M
N
→
{\displaystyle {\vec {MN}}}
с концом на оси
O
y
{\displaystyle Oy}
имеет длину, равную
a
{\displaystyle a}
, и образует острый угол с положительным направлением оси
O
y
{\displaystyle Oy}
.
M
0
(
3
,
5
)
,
a
=
5
{\displaystyle M_{0}(3,\;5),\;a=5}
Уравнение касательной к функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
:
y
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}
Рассмотрим произвольную точку
M
x
{\displaystyle M_{x}}
, принадлежащую искомой линии:
M
x
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle M_{x}(x,f(x))}
Уравнение касательной в точке
M
x
{\displaystyle M_{x}}
:
y
(
z
)
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
(
z
−
x
)
{\displaystyle y(z)=f(x)+f'(x)(z-x)}
Уравнение нормальной прямой в этой же точке:
y
(
z
)
=
f
(
x
)
−
1
f
′
(
x
)
⋅
(
z
−
x
)
{\displaystyle y(z)=f(x)-{\frac {1}{f'(x)}}\cdot (z-x)}
Эта прямая пересекает
0
y
{\displaystyle 0y}
в точке
N
x
=
(
0
,
f
(
x
)
+
x
f
′
(
x
)
)
{\displaystyle N_{x}=\left(0,f(x)+{\frac {x}{f'(x)}}\right)}
Найдем длину вектора
M
N
¯
:
{\displaystyle {\overline {MN}}:}
|
M
x
¯
N
x
¯
|
=
a
=
x
2
+
(
f
(
x
)
−
f
(
x
)
+
x
f
′
(
x
)
)
2
{\displaystyle |{\overline {M_{x}}}\;{\overline {N_{x}}}|=a={\sqrt {x^{2}+\left(f(x)-f(x)+{\frac {x}{f'(x)}}\right)^{2}}}}
Возведем обе части получившегося уравнения в квадрат:
a
2
−
x
2
=
x
2
(
f
′
(
x
)
)
2
⇒
f
′
(
x
)
=
x
a
2
−
x
2
⋅
I
{\displaystyle a^{2}-x^{2}={\frac {x^{2}}{\left(f'(x)\right)^{2}}}\;\Rightarrow \;f'(x)={\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\cdot I}
, где
I
=
±
1
{\displaystyle I=\pm 1}
Исходя из этого выражения, найдем функцию
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
:
f
(
x
)
=
∫
I
⋅
x
a
2
−
x
2
=
−
I
⋅
∫
d
(
a
2
−
x
2
)
a
2
−
x
2
=
−
I
⋅
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle f(x)=\int {\frac {I\cdot x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=-I\cdot \int {\frac {d(a^{2}-x^{2})}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=-I\cdot {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
Так как
M
N
¯
{\displaystyle {\overline {MN}}}
образует острый угол с положительным направлением оси
0
y
{\displaystyle 0y}
, то :
f
(
x
)
=
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle f(x)={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
Найдем
C
{\displaystyle C}
из условия, что
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
проходит через заданную точку
M
0
{\displaystyle M_{0}}
M
0
(
3
,
5
)
;
a
=
5
⇒
5
=
5
2
−
3
2
+
C
⇒
C
=
1
{\displaystyle M_{0}(3,5);\;a=5\;\Rightarrow \;5={\sqrt {5^{2}-3^{2}}}+C\;\Rightarrow \;C=1}
Таким образом искомая линия описывается следующим уравнением:
f
(
x
)
=
25
−
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)={\sqrt {25-x^{2}}}+1}