Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 9-4

Условие задачи

Найти линию, проходящую через точку $M_{0}$ и обладающую тем свойством, что в любой ее точке $M$ нормальный вектор ${\vec {MN}}$ с концом на оси $Oy$ имеет длину, равную $a$, и образует острый угол с положительным направлением оси $Oy$.

$M_{0}(6,\;4),\;a=10$

Решение

Уравнение касательной к функции $f(x)$ в точке $x_{0}$:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Рассмотрим произвольную точку $M_{x}$, принадлежащую искомой линии:

$M_{x}(x,f(x))$

Уравнение касательной в точке $M_{x}$ :

$y(z)=f(x)+f'(x)(z-x)$

Уравнение нормальной прямой в этой же точке:

$y(z)=f(x)-{\frac {1}{f'(x)}}\cdot (z-x)$

Эта прямая пересекает $0y$ в точке $N_{x}=\left(0,f(x)+{\frac {x}{f'(x)}}\right)$

Найдем длину вектора ${\overline {MN}}:$

$|{\overline {M_{x}}}\;{\overline {N_{x}}}|=a={\sqrt {x^{2}+\left(f(x)-f(x)+{\frac {x}{f'(x)}}\right)^{2}}}$

Возведем обе части получившегося уравнения в квадрат:

$a^{2}-x^{2}={\frac {x^{2}}{\left(f'(x)\right)^{2}}}\;\Rightarrow \;f'(x)={\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\cdot I$, где $I=\pm 1$

Исходя из этого выражения, найдем функцию $f(x)$:

$f(x)=\int {\frac {I\cdot x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=-I\cdot \int {\frac {d(a^{2}-x^{2})}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=-I\cdot {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

Так как ${\overline {MN}}$ образует острый угол с положительным направлением оси $0y$, то :

$f(x)={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

Найдем $C$ из условия, что $f(x)$ проходит через заданную точку $M_{0}$

$M_{0}(6,4);\;a=10\;\Rightarrow \;4={\sqrt {10^{2}-6^{2}}}+C\;\Rightarrow \;C=-4$

Таким образом искомая линия описывается следующим уравнением:

$f(x)={\sqrt {100-x^{2}}}-4$