Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 9-27

Условие задачи

Найти линию, проходящую через точку $M_{0}$ и обладающую тем свойством, что в любой ее точке $M$ касательный вектор ${\vec {MN}}$ с концом на оси $Oy$ имеет проекцию на ось $Oy$, равную $a$.

$M_{0}(1,\;4),\;a=2$

Решение

Уравнение касательной имеет вид: $Y-y=y'(X-x)$, где $(x,y)$ - координаты произвольной точки искомой линии.

По условию задачи, $~y-y_{n}=a$ $\;(*)$

Т.к. точка $N(0,y_{n})$ лежит на касательной, то: $y-y_{n}=xy'\Rightarrow y_{n}=y-xy'$.

Подставляем найденное $y_{n}$ в выражение $(*)$. Получаем:

$y-\left(y-xy'\right)=a,$

$xy'=a,$

$dy=a{\frac {dx}{x}},$

${\frac {dy}{y}}={\frac {x\;dx}{a}},$

$~y=a\ln x+C\;$ $\;(**)$

По условию задачи точка $M_{0}$ имеет координаты $(1,4)$ и $a=2,$

Подставляем данные в последнее равенство и выражаем $C$.

$~4=2\ln 1+C,$

$~C=4$

Подставляем найденное $C$ в $(**)$ и получаем искомое уравнение: $y=4+2\ln x$.