Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 9-20

Условие задачи

Найти линию, проходящую через точку $M_{0}$, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении $a:b$ (считая от оси $Oy$).

$M_{0}(3,\;2),\;a:b=3:2$

Решение

Уравнение касательной к функции $f(x)$ в точке $x_{0}$:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую искомой линии:

$M(x,f(x))$

Точки пересечения касательной к искомой кривой в этой точке с осями координат обозначим $N$ и $P$

$N(0,f(x)-x\cdot f'(x))$

$P(x-{\frac {f(x)}{f'(x)}},0)$

По условию отрезок $NP$ делится следующим образом:

${\frac {|{\overline {NM}}|}{|{\overline {MP}}|}}={\frac {a}{b}}$

Тогда из этого вытекает следующее уравнение:

$b{\sqrt {x^{2}+\left(x-f'(x)\right)^{2}}}=a{\sqrt {\left({\frac {f(x)}{f'(x)}}\right)^{2}+\left({\frac {f(x)\cdot f'(x)}{f'(x)}}\right)^{2}}}$

Из этого уравнения следует такое выражение:

$|bx|=\left|a\cdot {\frac {f(x)}{f'(x)}}\right|$

Избавимся от знаков модуля:

${\frac {f'(x)}{f(x)}}=\pm {\frac {a}{bx}}\;\Rightarrow \;{\frac {df(x)}{f(x)}}=\pm {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {dx}{x}}$

Му получили уравнение с разделяющимися переменными.
Его решением будет следующее выражение:

$\ln(f(x))=\pm {\frac {a}{b}}\cdot \ln(x)+C\;\Rightarrow \;f(x)=C\cdot x^{\pm a/b}$

Найдем $C$ из условия, что $f(x)$ проходит через заданную точку $M_{0}$

$M_{0}(3,-1);\;a:b=3:2\;\Rightarrow \;-1=C\cdot 3^{\pm 3/2}\;\Rightarrow \;C=-{\frac {1}{3^{\pm 3/2}}}$

Таким образом искомая линия описывается следующим уравнением:

$f(x)=-{\frac {1}{3^{\pm 3/2}}}\cdot x^{\pm 3/2}=-{\frac {x^{\pm 3/2}}{3^{\pm 3/2}}}$