Условие задачи [ править ]
Найти линию, проходящую через точку
M
0
{\displaystyle M_{0}}
, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении
a
:
b
{\displaystyle a:b}
(считая от оси
O
y
{\displaystyle Oy}
).
M
0
(
1
,
2
)
,
a
:
b
=
1
:
1
{\displaystyle M_{0}(1,\;2),\;a:b=1:1}
Уравнение касательной к функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
:
y
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}
Рассмотрим произвольную точку
M
{\displaystyle M}
, принадлежащую искомой линии:
M
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle M(x,f(x))}
Точки пересечения касательной к искомой кривой в этой точке с осями координат обозначим
N
{\displaystyle N}
и
P
{\displaystyle P}
N
(
0
,
f
(
x
)
−
x
⋅
f
′
(
x
)
)
{\displaystyle N(0,f(x)-x\cdot f'(x))}
P
(
x
−
f
(
x
)
f
′
(
x
)
,
0
)
{\displaystyle P(x-{\frac {f(x)}{f'(x)}},0)}
По условию отрезок
N
P
{\displaystyle NP}
делится следующим образом:
|
N
M
¯
|
|
M
P
¯
|
=
a
b
{\displaystyle {\frac {|{\overline {NM}}|}{|{\overline {MP}}|}}={\frac {a}{b}}}
Тогда из этого вытекает следующее уравнение:
b
x
2
+
(
x
−
f
′
(
x
)
)
2
=
a
(
f
(
x
)
f
′
(
x
)
)
2
+
(
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
f
′
(
x
)
)
2
{\displaystyle b{\sqrt {x^{2}+\left(x-f'(x)\right)^{2}}}=a{\sqrt {\left({\frac {f(x)}{f'(x)}}\right)^{2}+\left({\frac {f(x)\cdot f'(x)}{f'(x)}}\right)^{2}}}}
Из этого уравнения следует такое выражение:
|
b
x
|
=
|
a
⋅
f
(
x
)
f
′
(
x
)
|
{\displaystyle |bx|=\left|a\cdot {\frac {f(x)}{f'(x)}}\right|}
Избавимся от знаков модуля:
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
±
a
b
x
⇒
d
f
(
x
)
f
(
x
)
=
±
a
b
⋅
d
x
x
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\pm {\frac {a}{bx}}\;\Rightarrow \;{\frac {df(x)}{f(x)}}=\pm {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {dx}{x}}}
Му получили уравнение с разделяющимися переменными. Его решением будет следующее выражение:
ln
(
f
(
x
)
)
=
±
a
b
⋅
ln
(
x
)
+
C
⇒
f
(
x
)
=
C
⋅
x
±
a
/
b
{\displaystyle \ln(f(x))=\pm {\frac {a}{b}}\cdot \ln(x)+C\;\Rightarrow \;f(x)=C\cdot x^{\pm a/b}}
Найдем
C
{\displaystyle C}
из условия, что
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
проходит через заданную точку
M
0
{\displaystyle M_{0}}
M
0
(
1
,
2
)
;
a
:
b
=
1
:
1
⇒
2
=
C
⋅
1
±
1
⇒
C
=
2
{\displaystyle M_{0}(1,2);\;a:b=1:1\;\Rightarrow \;2=C\cdot 1^{\pm 1}\;\Rightarrow \;C=2}
Таким образом искомая линия описывается следующим уравнением:
f
(
x
)
=
2
x
±
1
{\displaystyle f(x)=2x^{\pm 1}}