Условие задачи [ править ]
Найти линию, проходящую через точку
M
0
{\displaystyle M_{0}}
, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью
O
y
{\displaystyle Oy}
делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении
a
:
b
{\displaystyle a:b}
(считая от оси
O
y
{\displaystyle Oy}
).
M
0
(
1
,
3
)
,
a
:
b
=
2
:
1
{\displaystyle M_{0}(1,\;3),\;a:b=2:1}
Уравнение касательной к функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
:
y
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}
Рассмотрим произвольную точку
M
{\displaystyle M}
, принадлежащую искомой линии:
M
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle M(x,f(x))}
Точки пересечения касательной к искомой кривой, в этой точке, с осями координат обозначим
N
{\displaystyle N}
и
P
{\displaystyle P}
N
(
0
,
f
(
x
)
−
x
⋅
f
′
(
x
)
)
{\displaystyle N(0,f(x)-x\cdot f'(x))}
P
(
x
−
f
(
x
)
f
′
(
x
)
,
0
)
{\displaystyle P(x-{\frac {f(x)}{f'(x)}},0)}
По условию отрезок
M
N
{\displaystyle MN}
делится следующим образом:
|
N
P
¯
|
|
M
P
¯
|
=
a
b
{\displaystyle {\frac {|{\overline {NP}}|}{|{\overline {MP}}|}}={\frac {a}{b}}}
Тогда из этого вытекает следующее уравнение:
b
⋅
(
x
−
f
(
x
)
f
′
(
x
)
)
2
+
(
f
(
x
)
−
x
⋅
f
′
(
x
)
)
2
=
a
⋅
(
f
(
x
)
f
′
(
x
)
)
2
+
f
2
(
x
)
{\displaystyle b\cdot {\sqrt {\left(x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}\right)^{2}+\left(f(x)-x\cdot f'(x)\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {f(x)}{f'(x)}}\right)^{2}+f^{2}(x)}}}
Из этого уравнения следует такое выражение:
|
b
⋅
(
x
f
′
(
x
)
−
f
(
x
)
)
|
=
|
a
⋅
f
(
x
)
|
{\displaystyle |b\cdot (xf'(x)-f(x))|=\left|a\cdot f(x)\right|}
Избавимся от знаков модуля:
b
⋅
x
⋅
f
′
(
x
)
=
(
b
±
a
)
f
(
x
)
⇒
d
f
(
x
)
f
(
x
)
=
b
±
a
b
⋅
d
x
x
{\displaystyle b\cdot x\cdot f'(x)=(b\pm a)f(x)\;\Rightarrow \;{\frac {df(x)}{f(x)}}={\frac {b\pm a}{b}}\cdot {\frac {dx}{x}}}
Му получили уравнение с разделяющимися переменными. Его решением будет следующее выражение:
ln
(
f
(
x
)
)
=
b
±
a
b
⋅
ln
(
x
)
+
C
⇒
f
(
x
)
=
C
⋅
x
(
b
±
a
)
/
b
{\displaystyle \ln(f(x))={\frac {b\pm a}{b}}\cdot \ln(x)+C\;\Rightarrow \;f(x)=C\cdot x^{(b\pm a)/b}}
Найдем
C
{\displaystyle C}
из условия, что
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
проходит через заданную точку
M
0
{\displaystyle M_{0}}
M
0
(
2
,
1
)
;
a
:
b
=
1
:
2
⇒
1
=
C
⋅
2
1
±
1
/
2
⇒
{
C
=
1
8
C
=
1
2
{\displaystyle M_{0}(2,1);\;a:b=1:2\;\Rightarrow \;1=C\cdot 2^{1\pm 1/2}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}C={\frac {1}{\sqrt {8}}}\\C={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{cases}}}
Таким образом искомая линия описывается любым из уравнений:
f
(
x
)
=
1
8
⋅
x
3
/
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {8}}}\cdot x^{3/2}}
и
f
(
x
)
=
1
2
⋅
x
1
/
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot x^{1/2}}