Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 9-13

Условие задачи

Найти линию, проходящую через точку $M_{0}$, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью $Oy$ делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении $a:b$ (считая от оси $Oy$).

$M_{0}(-1,\;1),\;a:b=3:1$

Решение 1

Уравнение касательной к функции $f(x)$ в точке $x_{0}$:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую искомой линии:

$M(x,f(x))$

Точки пересечения касательной к искомой кривой, в этой точке, с осями координат обозначим $N$ и $P$

$N(0,f(x)-x\cdot f'(x))$

$P(x-{\frac {f(x)}{f'(x)}},0)$

По условию отрезок $MN$ делится следующим образом:

${\frac {|{\overline {NP}}|}{|{\overline {MP}}|}}={\frac {a}{b}}$

Тогда из этого вытекает следующее уравнение:

$b\cdot {\sqrt {\left(x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}\right)^{2}+\left(f(x)-x\cdot f'(x)\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {f(x)}{f'(x)}}\right)^{2}+f^{2}(x)}}$

Из этого уравнения следует такое выражение:

$|b\cdot (xf'(x)-f(x))|=\left|a\cdot f(x)\right|$

Избавимся от знаков модуля:

$b\cdot x\cdot f'(x)=(b\pm a)f(x)\;\Rightarrow \;{\frac {df(x)}{f(x)}}={\frac {b\pm a}{b}}\cdot {\frac {dx}{x}}$

Му получили уравнение с разделяющимися переменными.
Его решением будет следующее выражение:

$\ln(f(x))={\frac {b\pm a}{b}}\cdot \ln(x)+C\;\Rightarrow \;f(x)=C\cdot x^{(b\pm a)/b}$

Найдем $C$ из условия, что $f(x)$ проходит через заданную точку $M_{0}$

$M_{0}(-1,1);\;a:b=3:1\;\Rightarrow \;1=C\cdot (-1)^{1\pm 3}\;\Rightarrow \;C=1$

Таким образом искомая линия описывается любым из уравнений:

$f(x)=x^{-2}$ или

$f(x)=x^{4}$

Решение 2

Уравнение касательной имеет вид: $Y-y=y'(X-x)$, где $(x,y)$ - координаты произвольной точки искомой линии.

По условию задачи, ${\frac {|NP|}{|MP|}}={\frac {3}{1}}$.

В силу подобия треугольников $NOP$ и $MLP$ можно заключить, что ${\frac {|NP|}{|MP|}}={\frac {|OP|}{|PL|}}$.

Из последнего отношения следует: ${\frac {x_{n}}{x-x_{n}}}={\frac {3}{1}}$.

Выражая $x_{n}$, получаем: $x_{n}={\frac {3}{4}}x$ $(*)$.

Точка $N(x_{n},0)$ лежит на касательной, поэтому: $y=y'(x-x_{n})\Rightarrow x_{n}=x-{\frac {y}{y'}}$.

Подставляем найденное $x_{n}$ в выражение $(*)$. Получаем:

$x-{\frac {y}{y'}}={\frac {3}{4}}x,$

$-{\frac {y}{y'}}={\frac {3}{4}}x-x,$

$-4y=-x{\frac {dy}{dx}},$

${\frac {dy}{4y}}={\frac {dx}{x}},$

${\frac {1}{4}}\cdot ln|y|=ln|x|+ln|C|,$

$y=C\cdot x^{4}$ $\;(**)$

По условию задачи точка $M$ имеет координаты $(-1,1)$.

Подставляем координаты точки в последнее равенство и выражаем $C$.

$1=C\cdot (-1)^{4}$

$C=1$

Подставляем найденное $C$ в $(**)$ и получаем искомое уравнение: $y=x^{4}$.