Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 7-27

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

${\frac {(x-y)dx+(x+y)dy}{x^{2}+y^{2}}}=0$

Решение

${\frac {(x-y)dx}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(x+y)dy}{x^{2}+y^{2}}}=0$

Проверяем выполнение условия полного дифференциала:

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {-1(x^{2}+y^{2})-2y(x-y)}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}}}={\frac {y^{2}-x^{2}-2xy}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}}}$

${\frac {\partial Q}{\partial x}}={\frac {(x^{2}+y^{2})-2x(x+y)}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}}}={\frac {y^{2}-x^{2}-2xy}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}}}$

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$

Равенство выполняется

$\int {\frac {(x-y)dx}{x^{2}+y^{2}}}=-\operatorname {arctg} {\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}\ln \left|x^{2}+y^{2}\right|+C(y)$

${\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}+C'(y)={\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}$

$C=k$

$-\operatorname {arctg} {\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}\ln \left|x^{2}+y^{2}\right|=k$